与えられた2つの不定方程式の整数解をすべて求める。 (1) $3x - 5y = 1$ (2) $75x + 64y = 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定方程式の整数解をすべて求める。

(1) $3x - 5y = 1$

(2) $75x + 64y = 1$

2. 解き方の手順

(1) $3x - 5y = 1$ の場合

ステップ1: 特殊解を見つける。

$x = 2$, $y = 1$ はこの方程式の解の一つである。

したがって、$3(2) - 5(1) = 1$。

ステップ2: 一般解を求める。

元の式 $3x - 5y = 1$ から、$3(2) - 5(1) = 1$ を引くと、

$3(x - 2) - 5(y - 1) = 0$

$3(x - 2) = 5(y - 1)$

3と5は互いに素なので、$x - 2$ は 5 の倍数で、$y - 1$ は 3 の倍数である。

$x - 2 = 5k$ ($k$は整数)とおくと、$x = 5k + 2$

$y - 1 = 3k$ ($k$は整数)とおくと、$y = 3k + 1$

(2) $75x + 64y = 1$ の場合

ステップ1: 特殊解を見つける。

ユークリッドの互除法を使って75と64の最大公約数を求めるとともに、$75x + 64y = 1$ の特殊解を求める。

$75 = 64 \cdot 1 + 11$

$64 = 11 \cdot 5 + 9$

$11 = 9 \cdot 1 + 2$

$9 = 2 \cdot 4 + 1$

$1 = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - (11 - 9) \cdot 4 = 9 \cdot 5 - 11 \cdot 4 = (64 - 11 \cdot 5) \cdot 5 - 11 \cdot 4 = 64 \cdot 5 - 11 \cdot 29 = 64 \cdot 5 - (75 - 64) \cdot 29 = 64 \cdot 34 - 75 \cdot 29$

したがって、$75(-29) + 64(34) = 1$。

特殊解は $x = -29$, $y = 34$。

ステップ2: 一般解を求める。

元の式 $75x + 64y = 1$ から、$75(-29) + 64(34) = 1$ を引くと、

$75(x + 29) + 64(y - 34) = 0$

$75(x + 29) = -64(y - 34)$

75と64は互いに素なので、$x + 29$ は 64 の倍数で、$y - 34$ は -75 の倍数である。

$x + 29 = 64k$ ($k$は整数)とおくと、$x = 64k - 29$

$y - 34 = -75k$ ($k$は整数)とおくと、$y = -75k + 34$

3. 最終的な答え

(1) $x = 5k + 2$, $y = 3k + 1$ ($k$は整数)

(2) $x = 64k - 29$, $y = -75k + 34$ ($k$は整数)