(1) $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 7$ と $Q(x) = x^2 + 2x - 3$ が与えられています。このとき、$P(x)^3$ を $Q(x)$ で割ったときの商と余りを求めます。 (2) 多項式 $x^{2023} - 1$ を多項式 $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割ったときの余りを求めます。

1. 問題の内容

(1) $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 7$ と $Q(x) = x^2 + 2x - 3$ が与えられています。このとき、$P(x)^3$ を $Q(x)$ で割ったときの商と余りを求めます。

(2) 多項式 $x^{2023} - 1$ を多項式 $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割ったときの余りを求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、$P(x)$ を $Q(x)$ で割ります。

$P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 7$

$Q(x) = x^2 + 2x - 3$

筆算により、$P(x)$ を $Q(x)$ で割ると、

$P(x) = (2x+1)Q(x) + (-2x-4)$

すなわち、

$P(x) = (2x+1)(x^2+2x-3) -2x-4$

$P(x) \equiv -2x - 4 \pmod{Q(x)}$

$P(x)^3 \equiv (-2x-4)^3 \pmod{Q(x)}$

$(-2x-4)^3 = -(2x+4)^3 = -(8x^3 + 48x^2 + 96x + 64) = -8x^3 - 48x^2 - 96x - 64$

$-8x^3 - 48x^2 - 96x - 64$ を $Q(x) = x^2 + 2x - 3$ で割ります。

まず、$-8x^3 - 48x^2 - 96x - 64 = (-8x - 32) (x^2 + 2x - 3) + (-16x - 160)$

よって、$P(x)^3 \equiv -16x - 160 \pmod{Q(x)}$ となります。

したがって、$P(x)^3$ を $Q(x)$ で割ったときの余りは $-16x - 160$ であり、商は計算していませんが、$P(x)^3 = Q(x) * 商 + 余り$ で表せます。

(2) $x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$ より、$x^5 \equiv 1 \pmod{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}$

$x^{2023} = (x^5)^{404} \cdot x^3$ より、$x^{2023} \equiv (1)^{404} \cdot x^3 = x^3 \pmod{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}$

よって、$x^{2023} - 1 \equiv x^3 - 1 \pmod{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}$

したがって、$x^{2023} - 1$ を $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割ったときの余りは $x^3 - 1$ です。

3. 最終的な答え

(1) 商： (計算省略) , 余り： $-16x - 160$

(2) 余り： $x^3 - 1$