長さ18cmの針金を折り曲げて長方形を作ったところ、面積が18cm²になった。この長方形の対角線の長さを求めよ。

1. 問題の内容

長さ18cmの針金を折り曲げて長方形を作ったところ、面積が18cm²になった。この長方形の対角線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

長方形の縦の長さを $x$ cm、横の長さを $y$ cmとする。

針金の長さが18cmなので、長方形の周の長さは18cm。したがって、

$2(x+y) = 18$

$x+y = 9$

長方形の面積が18cm²なので、

$xy = 18$

$x+y=9$ より $y = 9-x$。これを $xy=18$ に代入すると、

$x(9-x) = 18$

$9x - x^2 = 18$

$x^2 - 9x + 18 = 0$

$(x-3)(x-6) = 0$

$x = 3, 6$

$x=3$ のとき $y=6$、 $x=6$ のとき $y=3$ となる。

どちらの場合も長方形の縦と横の長さは3cmと6cmである。

長方形の対角線の長さを $d$ とすると、ピタゴラスの定理より、

$d^2 = x^2 + y^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$

$d = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{5}$ cm