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1. 問題の内容
いくつか問題がありますが、ここでは問題9の(1)と(2)と、問題10の(1)と(2)を解きます。
* 問題9：円Oが円の中心であるとき、αとβの角度を求める。
* 問題10：与えられた図において、αの角度を求める。ただし、(1)ではAC=ADである。
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2. 解き方の手順
**問題9 (1):**
1. 円周角の定理より、弧ADに対する円周角は等しいので、$∠ABD = ∠ACD = α$ である。
2. 四角形ABCDは円に内接するので、対角の和は180度である。よって、$∠ABC + ∠ADC = 180°$ である。
3. $∠ABC = β$ であり、$∠ADC = ∠ADE + ∠EDC = 61° + ∠EDC$ である。
4. $∠AED$ は110°なので、$∠AEC = 180° - 110° = 70°$。
5. $∠EDC = 180° - ∠DEC - ∠ECD$。 $∠ECD = α$より、$∠EDC = 180° - 70° - α = 110° - α$
6. $β + 61° + 110° - α = 180°$ より、$β - α = 180° - 61° - 110° = 9°$
7. $△ABE$について、$∠BAE = 180° - ∠AEB - ∠ABE = 180° - 110° - β = 70° - β$
8. $∠BAC = ∠BAE + α = 70° - β + α $。弧BCの円周角より、$∠BAC = ∠BDC = 110° - α$
9. $70° - β + α = 110° - α$。 $2α - β = 40°$
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0. ２つの式 $β - α = 9°$ と $2α - β = 40°$ より連立方程式を解く。
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1. $α = 49°$, $β = 58°$
**問題9 (2):**
1. $∠BOC = 58°$であるから、円周角の定理より、$α = ∠BAC = \frac{1}{2} ∠BOC = 29°$。
2. $∠OBC = ∠OCB = (180° - 58°) / 2 = 61°$。
3. $β = ∠ABC = ∠OBC + ∠OBA$。 $∠BCA= α + 25°$
4. $OB = OC$より、$\triangle OBC$は二等辺三角形
5. $\triangle ABC$の内角の和は$180°$なので、$∠ABC+∠BCA+∠CAB = 180°$
6. $∠OBA=∠ABC-∠OBC$。
7. また、$\triangle AOB$で、$OA=OB$より、$\angle OBA=∠OAB = β$。
8. 従って、$∠AOB = 180°-2β$。
9. 円周角と中心角の関係より、$∠AOB = 2 ∠ACB$。
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0. $∠ACB = α + 25 = 29° + 25° = 54°$
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1. $∠AOB = 2 * 54° = 108°$
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2. $∠AOB=108=180°-2β$ より、$2β=72$。 $β = 36°$。
**問題10 (1):**
1. $AC = AD$より、$\triangle ADC$は二等辺三角形なので、$∠ACD = ∠ADC = x$とする。
2. $\triangle ADC$において、$∠DAC = 180° - 2x$
3. 四角形ABCDは円に内接するので、$∠ABC + ∠ADC = 180°$ すなわち、$α + x = 180°$。
4. また、四角形ABCDは円に内接するので、$∠BAD + ∠BCD = 180°$ すなわち、$44° + 180°-2x + x = 180°$。
5. よって、$x = 44°$。
6. $α + x = 180°$ より、$α = 180° - 44° = 136°$。
**問題10 (2):**
1. 円周角の定理より、$∠ACE = ∠ABE = 80°$
2. $\triangle CDE$において、$∠CED = 180° - ∠DCE - ∠CDE = 180° - 32° - α = 148° - α$。
3. $∠AEC = 180°$より、$∠AEC = ∠ACE + ∠CED$。
4. $180° = 80° + 148° - α$
5. $α = 228° - 180° = 48°$。
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3. 最終的な答え
**問題9:**
(1) α = 49°, β = 58°
(2) α = 29°, β = 36°
**問題10:**
(1) α = 136°
(2) α = 48°