First, combine the fractions on the left side of the inequality:
m 2 − 20 − ( 2 m + 5 ) − m 2 + m − 12 2 m + 5 < 2 \frac{m^2 - 20}{-(2m+5)} - \frac{m^2 + m - 12}{2m+5} < 2 − ( 2 m + 5 ) m 2 − 20 − 2 m + 5 m 2 + m − 12 < 2 − ( m 2 − 20 ) 2 m + 5 − m 2 + m − 12 2 m + 5 < 2 \frac{-(m^2 - 20)}{2m+5} - \frac{m^2 + m - 12}{2m+5} < 2 2 m + 5 − ( m 2 − 20 ) − 2 m + 5 m 2 + m − 12 < 2 − m 2 + 20 − m 2 − m + 12 2 m + 5 < 2 \frac{-m^2 + 20 - m^2 - m + 12}{2m+5} < 2 2 m + 5 − m 2 + 20 − m 2 − m + 12 < 2 − 2 m 2 − m + 32 2 m + 5 < 2 \frac{-2m^2 - m + 32}{2m+5} < 2 2 m + 5 − 2 m 2 − m + 32 < 2
Now, subtract 2 from both sides:
− 2 m 2 − m + 32 2 m + 5 − 2 < 0 \frac{-2m^2 - m + 32}{2m+5} - 2 < 0 2 m + 5 − 2 m 2 − m + 32 − 2 < 0 − 2 m 2 − m + 32 − 2 ( 2 m + 5 ) 2 m + 5 < 0 \frac{-2m^2 - m + 32 - 2(2m+5)}{2m+5} < 0 2 m + 5 − 2 m 2 − m + 32 − 2 ( 2 m + 5 ) < 0 − 2 m 2 − m + 32 − 4 m − 10 2 m + 5 < 0 \frac{-2m^2 - m + 32 - 4m - 10}{2m+5} < 0 2 m + 5 − 2 m 2 − m + 32 − 4 m − 10 < 0 − 2 m 2 − 5 m + 22 2 m + 5 < 0 \frac{-2m^2 - 5m + 22}{2m+5} < 0 2 m + 5 − 2 m 2 − 5 m + 22 < 0 − ( 2 m 2 + 5 m − 22 ) 2 m + 5 < 0 \frac{-(2m^2 + 5m - 22)}{2m+5} < 0 2 m + 5 − ( 2 m 2 + 5 m − 22 ) < 0 2 m 2 + 5 m − 22 2 m + 5 > 0 \frac{2m^2 + 5m - 22}{2m+5} > 0 2 m + 5 2 m 2 + 5 m − 22 > 0
Let's find the roots of the quadratic equation 2 m 2 + 5 m − 22 = 0 2m^2 + 5m - 22 = 0 2 m 2 + 5 m − 22 = 0 . Using the quadratic formula, m = − b ± b 2 − 4 a c 2 a m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} m = 2 a − b ± b 2 − 4 a c m = − 5 ± 5 2 − 4 ( 2 ) ( − 22 ) 2 ( 2 ) m = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(2)(-22)}}{2(2)} m = 2 ( 2 ) − 5 ± 5 2 − 4 ( 2 ) ( − 22 ) m = − 5 ± 25 + 176 4 m = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 176}}{4} m = 4 − 5 ± 25 + 176 m = − 5 ± 201 4 m = \frac{-5 \pm \sqrt{201}}{4} m = 4 − 5 ± 201
So the roots are m 1 = − 5 − 201 4 ≈ − 4.79 m_1 = \frac{-5 - \sqrt{201}}{4} \approx -4.79 m 1 = 4 − 5 − 201 ≈ − 4.79 and m 2 = − 5 + 201 4 ≈ 2.29 m_2 = \frac{-5 + \sqrt{201}}{4} \approx 2.29 m 2 = 4 − 5 + 201 ≈ 2.29 . Also, 2 m + 5 = 0 2m+5 = 0 2 m + 5 = 0 when m = − 5 2 = − 2.5 m = -\frac{5}{2} = -2.5 m = − 2 5 = − 2.5 .
Now, we analyze the sign of 2 m 2 + 5 m − 22 2 m + 5 \frac{2m^2 + 5m - 22}{2m+5} 2 m + 5 2 m 2 + 5 m − 22 . We have three critical points: m 1 ≈ − 4.79 m_1 \approx -4.79 m 1 ≈ − 4.79 , m = − 2.5 m = -2.5 m = − 2.5 and m 2 ≈ 2.29 m_2 \approx 2.29 m 2 ≈ 2.29 . We test the sign of the expression in the intervals ( − ∞ , − 4.79 ) (-\infty, -4.79) ( − ∞ , − 4.79 ) , ( − 4.79 , − 2.5 ) (-4.79, -2.5) ( − 4.79 , − 2.5 ) , ( − 2.5 , 2.29 ) (-2.5, 2.29) ( − 2.5 , 2.29 ) , and ( 2.29 , ∞ ) (2.29, \infty) ( 2.29 , ∞ ) .