問題1： x軸上を運動する質点の時刻 $t$ における速度 $v(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$ である。 (i) $0 \leq t \leq 2\pi$ の範囲で $v(t)$ のグラフの概形を描く。 (ii) 時刻 $t$ における加速度 $a(t)$ を求める。 (iii) 時刻 $t$ における位置 $x(t)$ を求める。ただし、$t=0$ のとき $x=0$ とする。 (iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置はどのようにふるまうか答える。 問題2： 地表面付近で空気抵抗を受ける質量 $m$ の物体の落下運動を考える。重力加速度の大きさを $g$ とし、鉛直上向きを $y$ 軸とする。物体に作用する力は、鉛直下向きの重力 $mg$ と、速度に比例する粘性抵抗 $bv$ ($b > 0$) である。 (i) 物体が満たす運動方程式を立てる。 (ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ となることを確かめる。 (iii) 十分時間が経過したとき、速度は一定の速度に漸近することを示し、終端速度を求める。

1. 問題の内容

問題1：

x軸上を運動する質点の時刻 $t$ における速度 $v(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$ である。

(i) $0 \leq t \leq 2\pi$ の範囲で $v(t)$ のグラフの概形を描く。

(ii) 時刻 $t$ における加速度 $a(t)$ を求める。

(iii) 時刻 $t$ における位置 $x(t)$ を求める。ただし、$t=0$ のとき $x=0$ とする。

(iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置はどのようにふるまうか答える。

問題2：

地表面付近で空気抵抗を受ける質量 $m$ の物体の落下運動を考える。重力加速度の大きさを $g$ とし、鉛直上向きを $y$ 軸とする。物体に作用する力は、鉛直下向きの重力 $mg$ と、速度に比例する粘性抵抗 $bv$ ($b > 0$) である。

(i) 物体が満たす運動方程式を立てる。

(ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ となることを確かめる。

(iii) 十分時間が経過したとき、速度は一定の速度に漸近することを示し、終端速度を求める。

2. 解き方の手順

【問1】

(i) グラフの概形:

$v(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$ のグラフを考える。

$e^{-\frac{t}{2}}$ は $t$ が増加するにつれて減少する関数である。

$\sin(2t)$ は周期 $\pi$ の振動関数である。

したがって、$v(t)$ は振幅が減衰する振動関数となる。

$v(0) = 0$, $v(t) = 0$ となるのは $2t = n\pi$ ($n$ は整数) つまり $t = \frac{n\pi}{2}$ のときである。

$0 \leq t \leq 2\pi$ の範囲では、$t=0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$ で $v(t)=0$ となる。

$t$が0から$\pi/2$の間で正の値を取り、$\pi/2$から$\pi$の間で負の値を取り、$\pi$から$3\pi/2$の間で正の値を取り、$3\pi/2$から$2\pi$の間で負の値を取る。

振幅は指数関数的に減少していく。

(ii) 加速度 $a(t)$ :

$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t))$

$a(t) = -\frac{1}{2}e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) + 2e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t)$

$a(t) = e^{-\frac{t}{2}} (2\cos(2t) - \frac{1}{2}\sin(2t))$

(iii) 位置 $x(t)$ :

$x(t) = \int v(t) dt = \int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$

部分積分を2回行う。

$\int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) + \int 2e^{-\frac{t}{2}} 2\cos(2t) dt$

$= -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - 8e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) - \int 4e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$

$5\int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - 8e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t)$

$\int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt = -\frac{2}{5}e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - \frac{8}{5}e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) + C$

$x(t) = -\frac{2}{5}e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - \frac{8}{5}e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) + C$

$x(0) = 0$ より、 $0 = -\frac{8}{5} + C$, よって $C = \frac{8}{5}$

$x(t) = -\frac{2}{5}e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - \frac{8}{5}e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) + \frac{8}{5}$

(iv) 時刻が経つにつれて:

$t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{t}{2}} \to 0$ なので、

$\lim_{t \to \infty} x(t) = \frac{8}{5}$

したがって、質点の位置は $\frac{8}{5}$ に近づく。

【問2】

(i) 運動方程式:

鉛直下向きを正とする。

$m \frac{dv}{dt} = mg - bv$

(ii) 解の確認:

$v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$

$\frac{dv}{dt} = (v_0 - \frac{mg}{b}) (-\frac{b}{m}) e^{-\frac{b}{m}t}$

$m \frac{dv}{dt} = (v_0 - \frac{mg}{b}) (-b) e^{-\frac{b}{m}t} = -b(v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t}$

$mg - bv = mg - b((v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}) = mg - bv_0 e^{-\frac{b}{m}t} + mg e^{-\frac{b}{m}t} - mg$

$mg - bv = -b(v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} = m \frac{dv}{dt}$

また、$t=0$ のとき、$v(0) = (v_0 - \frac{mg}{b}) + \frac{mg}{b} = v_0$

よって、$v(t)$ は運動方程式を満たす。

(iii) 終端速度:

$t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{b}{m}t} \to 0$ なので、

$\lim_{t \to \infty} v(t) = \frac{mg}{b}$

したがって、終端速度は $\frac{mg}{b}$ である。

3. 最終的な答え

【問1】

(i) グラフの説明は上記参照

(ii) $a(t) = e^{-\frac{t}{2}} (2\cos(2t) - \frac{1}{2}\sin(2t))$

(iii) $x(t) = -\frac{2}{5}e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - \frac{8}{5}e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) + \frac{8}{5}$

(iv) $\frac{8}{5}$ に近づく

【問2】

(i) $m \frac{dv}{dt} = mg - bv$

(ii) 上記参照

(iii) 終端速度: $\frac{mg}{b}$