以下の３つの問題を解きます。 (1) 周の長さが $l$ である長方形で、面積が最大となるものを求めよ。 (2) 半径が $r$ の円に内接する二等辺三角形で、面積が最大となるものを求めよ。 (3) 半径が $r$ の円に内接する長方形で、周の長さが最大となるものを求めよ。

1. 問題の内容

以下の３つの問題を解きます。

(1) 周の長さが $l$ である長方形で、面積が最大となるものを求めよ。

(2) 半径が $r$ の円に内接する二等辺三角形で、面積が最大となるものを求めよ。

(3) 半径が $r$ の円に内接する長方形で、周の長さが最大となるものを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 周の長さが $l$ である長方形で、面積が最大となるものを求める。

長方形の縦の長さを $x$、横の長さを $y$ とする。周の長さが $l$ であるから、

$2x + 2y = l$

$x + y = \frac{l}{2}$

$y = \frac{l}{2} - x$

面積を $S$ とすると、

$S = xy = x(\frac{l}{2} - x) = \frac{l}{2}x - x^2$

$S$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dS}{dx} = \frac{l}{2} - 2x$

$\frac{dS}{dx} = 0$ となるのは、$x = \frac{l}{4}$ のとき。

$y = \frac{l}{2} - x = \frac{l}{2} - \frac{l}{4} = \frac{l}{4}$

したがって、$x = y = \frac{l}{4}$ のとき、面積が最大となる。これは正方形である。

(2) 半径が $r$ の円に内接する二等辺三角形で、面積が最大となるものを求める。

二等辺三角形の頂角から底辺に下ろした垂線の長さを $h$、底辺の長さを $2x$ とする。

円の中心から底辺までの距離を $d$ とすると、$h = r + d$。また、$x^2 + d^2 = r^2$。

したがって、$x = \sqrt{r^2 - d^2}$。

面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot h = xh = \sqrt{r^2 - d^2}(r + d)$

$S^2 = (r^2 - d^2)(r + d)^2 = (r - d)(r + d)^3$

$u = r + d$ とおくと、$d = u - r$。

$S^2 = (r - (u - r))u^3 = (2r - u)u^3 = 2ru^3 - u^4$

$\frac{d(S^2)}{du} = 6ru^2 - 4u^3 = 2u^2(3r - 2u)$

$\frac{d(S^2)}{du} = 0$ となるのは、$u = 0$ または $u = \frac{3}{2}r$ のとき。

$u = \frac{3}{2}r$ のとき、$h = u = \frac{3}{2}r$。

$d = u - r = \frac{3}{2}r - r = \frac{1}{2}r$

$x = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{r^2 - (\frac{1}{2}r)^2} = \sqrt{r^2 - \frac{1}{4}r^2} = \sqrt{\frac{3}{4}r^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}r$

底辺の長さは $2x = \sqrt{3}r$。高さは $\frac{3}{2}r$。

これは正三角形である。

(3) 半径が $r$ の円に内接する長方形で、周の長さが最大となるものを求める。

長方形の縦の長さを $2x$、横の長さを $2y$ とする。

$x^2 + y^2 = r^2$

周の長さを $L$ とすると、$L = 2(2x + 2y) = 4(x + y)$

$x + y = \frac{L}{4}$

$y = \frac{L}{4} - x$

$x^2 + (\frac{L}{4} - x)^2 = r^2$

$x^2 + \frac{L^2}{16} - \frac{L}{2}x + x^2 = r^2$

$2x^2 - \frac{L}{2}x + \frac{L^2}{16} - r^2 = 0$

$x = \frac{\frac{L}{2} \pm \sqrt{(\frac{L}{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (\frac{L^2}{16} - r^2)}}{4} = \frac{\frac{L}{2} \pm \sqrt{\frac{L^2}{4} - \frac{L^2}{2} + 8r^2}}{4} = \frac{\frac{L}{2} \pm \sqrt{8r^2 - \frac{L^2}{4}}}{4}$

$8r^2 - \frac{L^2}{4} \ge 0$

$32r^2 \ge L^2$

$L \le 4\sqrt{2}r$

$L$ が最大になるのは、$x = y$ のとき。

$x^2 + y^2 = r^2$ より、$2x^2 = r^2$。$x = \frac{r}{\sqrt{2}}$

$L = 4(x + y) = 4(2x) = 8x = 8 \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}r$

縦と横の長さは、$2x = 2y = \sqrt{2}r$。これは正方形である。

3. 最終的な答え

(1) 一辺の長さが $\frac{l}{4}$ の正方形

(2) 一辺の長さが $\sqrt{3}r$ の正三角形

(3) 一辺の長さが $\sqrt{2}r$ の正方形