図2のように、点Pまたは点Qから小物体を静かに放し、斜面、床面、パイプ内を運動させます。 問5: 小物体が点Pから斜面の最下点まですべる間に、小物体に斜面からはたらく動摩擦力がした仕事を求め、また、小物体がパイプ内を点Aから点Dまで運動する間に、小物体にはたらく重力がした仕事を求めます。 問6: 点Qから放した場合、点Dから飛び出したときの小物体の速さを求めます。

はい、承知いたしました。図2と問題文を読み、問5と問6を解きます。

1. 問題の内容

図2のように、点Pまたは点Qから小物体を静かに放し、斜面、床面、パイプ内を運動させます。

問5: 小物体が点Pから斜面の最下点まですべる間に、小物体に斜面からはたらく動摩擦力がした仕事を求め、また、小物体がパイプ内を点Aから点Dまで運動する間に、小物体にはたらく重力がした仕事を求めます。

問6: 点Qから放した場合、点Dから飛び出したときの小物体の速さを求めます。

2. 解き方の手順

問5:

* 動摩擦力の仕事:

まず、点Pから斜面の最下点までの距離を求めます。斜面の高さは$2r$で、斜面の傾斜は不明ですが、動摩擦力の大きさは一定であると問題文にありますので、動摩擦力がする仕事の大きさは、小物体が斜面上をすべった距離に比例すると考えられます。しかし、具体的な摩擦力の大きさや斜面の傾斜が与えられていないため、ここでは動摩擦力の仕事について一般的な議論に留めます。

動摩擦力の仕事は、常に運動方向と逆向きに働き、その仕事は負になります。動摩擦力の大きさ（$F_k$）が分かれば、斜面の長さを$L$として、仕事は$-F_kL$と表せます。

* 重力の仕事:

点Aから点Dまでの重力の仕事は、高さの変化のみに依存します。点Aを基準とすると、点Dの高さは、$r - r\cos{30^\circ} = r(1-\frac{\sqrt{3}}{2})$ となります。

したがって、重力がする仕事は、$W_g = -mg(r(1-\frac{\sqrt{3}}{2}))$となります。

問6:

* エネルギー保存則を利用します。点Qでの位置エネルギーを基準とし、点Dでの運動エネルギーを考えます。点Qの高さは$3r$です。

* 点Qから点Dまでの経路において、重力、動摩擦力が仕事をします。点Dでの速さを$v$とすると、エネルギー保存則より、位置エネルギーの変化＝運動エネルギーの変化＋動摩擦力の仕事 となります。

* 動摩擦力の仕事は、点Qから斜面を下り最下点までの間の仕事と、その地点から点Dまでの間の仕事に分けられます。

* 点Qから最下点までの高低差は$3r$なので、重力がした仕事は$mg3r$です。

* 運動エネルギーの変化は$\frac{1}{2}mv^2$となります。

* 動摩擦力のした仕事を$W_f$とすると、エネルギー保存則は

$mg3r = \frac{1}{2}mv^2 + W_f$

となります。

* $v$について解くと、$v = \sqrt{6gr - \frac{2W_f}{m}}$となります。

* 簡略化のため、動摩擦力の仕事を無視すると、

$v = \sqrt{6gr}$となります。

3. 最終的な答え

問5:

* 斜面での動摩擦力の仕事：詳細不明（$-F_kL$ などと表現）

* パイプ内での重力の仕事：$mg(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)r$

問6:

* 点Dでの速さ: $\sqrt{6gr}$ (動摩擦力を無視した場合)