問題6は、図2の状況において、糸が物体Aを引く力の大きさを$S$としたとき、物体Aと物体Bの運動方程式をそれぞれ求め、空欄を埋める問題です。ただし、A、Bそれぞれの加速度の向きを正とする、と定義されています。問題8は、図4の状況において、$m$ は $M$ の何倍かを問う問題です。

1. 問題の内容

問題6は、図2の状況において、糸が物体Aを引く力の大きさを$S$としたとき、物体Aと物体Bの運動方程式をそれぞれ求め、空欄を埋める問題です。ただし、A、Bそれぞれの加速度の向きを正とする、と定義されています。問題8は、図4の状況において、$m$ は $M$ の何倍かを問う問題です。

2. 解き方の手順

**問題6**

* 物体Aの運動方程式：物体Aには、上向きに糸の張力$S$、下向きに重力$Mg$、上向きに加速度$a$が働くので、運動方程式は以下のようになります。

$Ma = S - Mg$

したがって、空欄アには $S-Mg$ が入ります。

* 物体Bの運動方程式：物体Bには、上向きに糸の張力$S$、下向きに重力$3Mg$、下向きに加速度$a$が働くので、運動方程式は以下のようになります。

$3Ma = 3Mg - S$

したがって、空欄イには $3Mg-S$ が入ります。

**問題8**

図4において、物体Bは上向きに$\frac{1}{2}g$の加速度で運動し始めます。系全体の運動方程式を立てます。

図4の状態では、物体Aには下向きに重力$Mg$と、物体Cの重力$mg$が働きます。物体Bには上向きに$\frac{1}{2}g$の加速度が働きます。AとCをまとめて考え、質量は$M+m$とします。A、Cを一体化したものとBはつながっており、A,Cは下向きに、Bは上向きに運動します。

糸の張力を$T$とすると、A、Cの運動方程式は

$$(M+m)a = (M+m)g - T$$

$B$の運動方程式は

$$3Ma = T - 3Mg$$

ここで、$a=\frac{1}{2}g$を代入すると、

$$(M+m) \frac{1}{2}g = (M+m)g - T$$

$$3M \frac{1}{2}g = T - 3Mg$$

これらの2つの式を足し合わせると$T$が消去できます。

$$\frac{1}{2}g (M+m+3M) = (M+m)g + 3Mg - 3Mg$$

$$\frac{1}{2} (4M+m)g = (M+m)g$$

$$4M+m = 2(M+m)$$

$$4M+m = 2M+2m$$

$$2M = m$$

$$m = 2M$$

したがって、$m$は$M$の2倍です。

3. 最終的な答え

問題6：

ア：$S-Mg$

イ：$3Mg-S$

問題8：

2倍