質量 $m$ の小物体が、半径 $r$ の半円形のパイプ内を運動する。以下の4つの問いに答える。 問1：小物体が点Bに到達したとき、重力による位置エネルギーを求めよ。 問2：初速度 $v_0$ を $g, r$ で表せ。ただし、点Bに到達後、引き返す場合とする。 問3：初速度を少しずつ大きくしていき、初めて点Cに到達するときの初速度 $v_1$ は $v_0$ の何倍か。 問4：運動エネルギーを問1, 2の3倍にしたとき、点Cから飛び出すときの速さを $g, r$ で表せ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の小物体が、半径 $r$ の半円形のパイプ内を運動する。以下の4つの問いに答える。

問1：小物体が点Bに到達したとき、重力による位置エネルギーを求めよ。

問2：初速度 $v_0$ を $g, r$ で表せ。ただし、点Bに到達後、引き返す場合とする。

問3：初速度を少しずつ大きくしていき、初めて点Cに到達するときの初速度 $v_1$ は $v_0$ の何倍か。

問4：運動エネルギーを問1, 2の3倍にしたとき、点Cから飛び出すときの速さを $g, r$ で表せ。

2. 解き方の手順

問1：

位置エネルギーの基準面が床面なので、点Bの高さは $r$ である。

したがって、位置エネルギーは $mgr$ となる。

問2：

力学的エネルギー保存則を用いる。点Aでの運動エネルギーは $\frac{1}{2}mv_0^2$ であり、点Bでの位置エネルギーは $mgr$ である。点Bでの速さを $v_B$ とすると、点Bでの運動エネルギーは $\frac{1}{2}mv_B^2$ である。

力学的エネルギー保存則より、

$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgr + \frac{1}{2}mv_B^2$

小物体が点Bに到達した後、引き返す条件は $v_B = 0$ である。

$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgr$

$v_0^2 = 2gr$

$v_0 = \sqrt{2gr}$

問3：

力学的エネルギー保存則を用いる。点Aでの運動エネルギーは $\frac{1}{2}mv_1^2$ であり、点Cでの位置エネルギーは $mg(2r)$ である。点Cでの速さを $v_C$ とすると、点Cでの運動エネルギーは $\frac{1}{2}mv_C^2$ である。

$\frac{1}{2}mv_1^2 = mg(2r) + \frac{1}{2}mv_C^2$

初めて点Cに到達する条件は $v_C = 0$ である。

$\frac{1}{2}mv_1^2 = 2mgr$

$v_1^2 = 4gr$

$v_1 = \sqrt{4gr} = 2\sqrt{gr}$

したがって、$v_1 = \sqrt{2}v_0$ である。

問4：

点Aでの運動エネルギーは $\frac{3}{2}mv_0^2 = \frac{3}{2}m(2gr) = 3mgr$ である。

力学的エネルギー保存則より、

$3mgr = mg(2r) + \frac{1}{2}mv_C^2$

$mgr = \frac{1}{2}mv_C^2$

$v_C^2 = 2gr$

$v_C = \sqrt{2gr}$

3. 最終的な答え

問1：$mgr$

問2：$v_0 = \sqrt{2gr}$

問3：$\sqrt{2}$ 倍

問4：$v_C = \sqrt{2gr}$