ある投資家の効用関数が与えられています。 $u(x) = \begin{cases} -x^2 + 20x & (x \le 10) \\ x + 90 & (x > 10) \end{cases}$ 2つの投資行動 $a_1$ と $a_2$ があります。 $a_1 = \begin{cases} 10 \text{万円受け取る} & \text{確率 } 1/2 \\ 1 \text{万円受け取る} & \text{確率 } 1/2 \end{cases}$ $a_2 = \begin{cases} 20 \text{万円受け取る} & \text{確率 } 1/3 \\ 0 \text{万円受け取る} & \text{確率 } 2/3 \end{cases}$ (1) この投資家は $a_1$ と $a_2$ のどちらを選択するか。 (2) 行動 $a_1$, $a_2$ の確実同値、リスク・プレミアムをそれぞれ求めよ。 (3) この投資家が行動 $a_2$ を選好するためには、20万円を受け取る確率は少なくともどれほどでなければならないか。

1. 問題の内容

ある投資家の効用関数が与えられています。

$u(x) = \begin{cases}

-x^2 + 20x & (x \le 10) \\

x + 90 & (x > 10)

\end{cases}$

2つの投資行動 $a_1$ と $a_2$ があります。

$a_1 = \begin{cases}

10 \text{万円受け取る} & \text{確率 } 1/2 \\

1 \text{万円受け取る} & \text{確率 } 1/2

\end{cases}$

$a_2 = \begin{cases}

20 \text{万円受け取る} & \text{確率 } 1/3 \\

0 \text{万円受け取る} & \text{確率 } 2/3

\end{cases}$

(1) この投資家は $a_1$ と $a_2$ のどちらを選択するか。

(2) 行動 $a_1$, $a_2$ の確実同値、リスク・プレミアムをそれぞれ求めよ。

(3) この投資家が行動 $a_2$ を選好するためには、20万円を受け取る確率は少なくともどれほどでなければならないか。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$ と $a_2$ の期待効用を計算します。

$a_1$ の期待効用 $E[u(a_1)]$ は

$E[u(a_1)] = \frac{1}{2}u(10) + \frac{1}{2}u(1) = \frac{1}{2}(-10^2 + 20 \times 10) + \frac{1}{2}(-1^2 + 20 \times 1) = \frac{1}{2}(100) + \frac{1}{2}(19) = 50 + 9.5 = 59.5$

$a_2$ の期待効用 $E[u(a_2)]$ は

$E[u(a_2)] = \frac{1}{3}u(20) + \frac{2}{3}u(0) = \frac{1}{3}(20 + 90) + \frac{2}{3}(0) = \frac{1}{3}(110) = \frac{110}{3} \approx 36.67$

$E[u(a_1)] > E[u(a_2)]$ なので、$a_1$ を選択します。

(2) 確実同値とは、その金額を確実に得られる場合の効用が、元の行動の期待効用と等しくなる金額のことです。

$a_1$ の確実同値を $CE_1$ とすると、

$u(CE_1) = E[u(a_1)] = 59.5$

$CE_1 \le 10$ のとき、 $-CE_1^2 + 20CE_1 = 59.5$

$CE_1^2 - 20CE_1 + 59.5 = 0$

$CE_1 = \frac{20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \times 59.5}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 238}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{162}}{2} = \frac{20 \pm 9\sqrt{2}}{2} = 10 \pm \frac{9\sqrt{2}}{2}$

$10 - \frac{9\sqrt{2}}{2} \approx 10 - \frac{9 \times 1.414}{2} \approx 10 - 6.363 = 3.637$

$10 + \frac{9\sqrt{2}}{2} \approx 16.363 > 10$ なので不適

$CE_1 = 3.637$

$a_2$ の確実同値を $CE_2$ とすると、

$u(CE_2) = E[u(a_2)] = \frac{110}{3}$

$CE_2 \le 10$ のとき、 $-CE_2^2 + 20CE_2 = \frac{110}{3}$

$CE_2^2 - 20CE_2 + \frac{110}{3} = 0$

$CE_2 = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \times \frac{110}{3}}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - \frac{440}{3}}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{\frac{1200-440}{3}}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{\frac{760}{3}}}{2} \approx \frac{20 \pm \sqrt{253.33}}{2} \approx \frac{20 \pm 15.916}{2}$

$CE_2 \approx 1.942$ または $17.958 > 10$

$CE_2 \approx 1.942$

$a_1$ のリスク・プレミアム $RP_1$ は、 $RP_1 = E[a_1] - CE_1$

$E[a_1] = \frac{1}{2} \times 10 + \frac{1}{2} \times 1 = 5.5$

$RP_1 = 5.5 - 3.637 = 1.863$

$a_2$ のリスク・プレミアム $RP_2$ は、 $RP_2 = E[a_2] - CE_2$

$E[a_2] = \frac{1}{3} \times 20 + \frac{2}{3} \times 0 = \frac{20}{3} \approx 6.67$

$RP_2 = 6.67 - 1.942 = 4.728$

(3) 20万円を受け取る確率を $p$ とすると、行動 $a_2$ の期待効用は $E[u(a_2)] = pu(20) + (1-p)u(0)$

投資家が行動 $a_2$ を選好するためには、 $E[u(a_2)] > E[u(a_1)]$ である必要があるので、

$p(20 + 90) + (1-p) \times 0 > 59.5$

$110p > 59.5$

$p > \frac{59.5}{110} \approx 0.541$

3. 最終的な答え

(1) $a_1$ を選択する。

(2) $a_1$ の確実同値: 3.637万円、リスク・プレミアム: 1.863万円

$a_2$ の確実同値: 1.942万円、リスク・プレミアム: 4.728万円

(3) 20万円を受け取る確率は少なくとも 0.541 でなければならない。