$x-y$平面上を運動する物体の軌跡が $y = -2ax^2 + 5h$ で与えられている。この物体は $x$ 軸正方向に速さ $6$ m/s の等速直線運動をしている。このとき、$y$ 軸方向の加速度を求めよ。ここで、$a$ と $h$ は定数である。

1. 問題の内容

$x-y$平面上を運動する物体の軌跡が $y = -2ax^2 + 5h$ で与えられている。この物体は $x$ 軸正方向に速さ $6$ m/s の等速直線運動をしている。このとき、$y$ 軸方向の加速度を求めよ。ここで、$a$ と $h$ は定数である。

2. 解き方の手順

$x$ 軸方向の速度が一定なので、$x = vt$ と表せる。ここで、$v = 6$ m/s である。

したがって、$x = 6t$ となる。

この関係を軌跡の式に代入すると、$y$ の時間変化がわかる。

$y = -2a(6t)^2 + 5h$

$y = -2a(36t^2) + 5h$

$y = -72at^2 + 5h$

$y$ 軸方向の速度 $v_y$ は、$y$ を時間で微分することで求められる。

$v_y = \frac{dy}{dt} = -144at$

$y$ 軸方向の加速度 $a_y$ は、$v_y$ を時間で微分することで求められる。

$a_y = \frac{dv_y}{dt} = -144a$

3. 最終的な答え

$y$ 軸方向の加速度は $-144a$ m/s$^2$ である。