半径2の円周上を運動する質点AとBについて考える。AとBの位置ベクトルが時刻 $t$ の関数として与えられている。 $r^A(t) = 2 (\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$ $r^B(t) = 2 (\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$ 以下の問いに答える。 (i) $0 \le t \le 3$ におけるA, Bの軌跡を描き、$t=0, 1, 2, 3$ における質点の位置に印をつける。 (ii) 一般的な円運動の角速度の定義とその意味を書き、その定義に基づいてA, Bの角速度 $\omega^A(t)$, $\omega^B(t)$ を求める。 (iii) A, Bについて、周期があればそれを求める。 (iv) A, Bの速度の接線成分 $v^A(t)$, $v^B(t)$ を求め、Aは「等速」の円運動、Bは速さが一定の割合で増加する「等加速」の円運動であることを確かめる。 (v) $t=1$ におけるA, Bの速度 $v^A(1)$, $v^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示する。 (vi) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1)$, $a^B(1)$ を求め、(i) の軌跡上に図示する。 (vii) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1)$, $a^B(1)$ の接線方向成分 $a_t^A(1)$, $a_t^B(1)$ (進行方向を正), 法線方向成分 $a_n^A(1)$, $a_n^B(1)$ (外向きを正)をそれぞれ求める。 (viii) $t=1$ におけるA, Bの加速度の大きさ $a^A(1)$, $a^B(1)$ を求める。 (ix) 同じ半径で速度が等しい円運動であっても、加速度は異なることがあることを例をあげて示す。

1. 問題の内容

半径2の円周上を運動する質点AとBについて考える。AとBの位置ベクトルが時刻 $t$ の関数として与えられている。

$r^A(t) = 2 (\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

$r^B(t) = 2 (\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$

以下の問いに答える。

(i) $0 \le t \le 3$ におけるA, Bの軌跡を描き、$t=0, 1, 2, 3$ における質点の位置に印をつける。

(ii) 一般的な円運動の角速度の定義とその意味を書き、その定義に基づいてA, Bの角速度 $\omega^A(t)$, $\omega^B(t)$ を求める。

(iii) A, Bについて、周期があればそれを求める。

(iv) A, Bの速度の接線成分 $v^A(t)$, $v^B(t)$ を求め、Aは「等速」の円運動、Bは速さが一定の割合で増加する「等加速」の円運動であることを確かめる。

(v) $t=1$ におけるA, Bの速度 $v^A(1)$, $v^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示する。

(vi) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1)$, $a^B(1)$ を求め、(i) の軌跡上に図示する。

(vii) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1)$, $a^B(1)$ の接線方向成分 $a_t^A(1)$, $a_t^B(1)$ (進行方向を正), 法線方向成分 $a_n^A(1)$, $a_n^B(1)$ (外向きを正)をそれぞれ求める。

(viii) $t=1$ におけるA, Bの加速度の大きさ $a^A(1)$, $a^B(1)$ を求める。

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動であっても、加速度は異なることがあることを例をあげて示す。

2. 解き方の手順

(i)

AとBの座標を時刻 $t=0, 1, 2, 3$ について計算し、円周上にプロットする。

$r^A(t) = 2 (\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

$r^B(t) = 2 (\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$

(ii)

角速度の定義は、単位時間あたりの回転角の変化率である。

$\omega = \frac{d\theta}{dt}$

Aの回転角 $\theta^A(t) = \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}$ なので、

$\omega^A(t) = \frac{d\theta^A(t)}{dt} = \frac{\pi}{3}$

Bの回転角 $\theta^B(t) = \frac{\pi t^2}{6}$ なので、

$\omega^B(t) = \frac{d\theta^B(t)}{dt} = \frac{\pi t}{3}$

(iii)

Aの周期は、角速度が一定なので、

$T^A = \frac{2\pi}{\omega^A} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 6$

Bの角速度は時間変化するので、周期は定義できない。

(iv)

速度は位置ベクトルを時間微分することで求められる。

$v^A(t) = \frac{dr^A(t)}{dt} = 2 (-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

速度の大きさは

$|v^A(t)| = 2 \sqrt{(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}))^2 + (\frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}))^2} = 2 \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

これは時間に依存しないので、Aは等速円運動である。

$v^B(t) = \frac{dr^B(t)}{dt} = 2 (-\frac{\pi t}{3}\sin(\frac{\pi t^2}{6})i + \frac{\pi t}{3}\cos(\frac{\pi t^2}{6})j)$

速度の大きさは

$|v^B(t)| = 2 \sqrt{(-\frac{\pi t}{3}\sin(\frac{\pi t^2}{6}))^2 + (\frac{\pi t}{3}\cos(\frac{\pi t^2}{6}))^2} = 2 \frac{\pi t}{3} = \frac{2\pi t}{3}$

加速度は

$a^B(t) = \frac{dv^B(t)}{dt} = 2 (-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi t^2}{6}) - \frac{\pi^2 t^2}{9}\cos(\frac{\pi t^2}{6}))i + 2 (\frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi t^2}{6}) - \frac{\pi^2 t^2}{9}\sin(\frac{\pi t^2}{6}))j$

接線方向の加速度は $a_t^B(t) = \frac{d|v^B(t)|}{dt} = \frac{2\pi}{3}$

速度が時間に比例するので、Bは等加速度円運動である。

(v)

$v^A(1) = 2 (-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6})j) = 2 (-\frac{\pi}{3}\frac{1}{2}i + \frac{\pi}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}j) = -\frac{\pi}{3}i + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}j$

$v^B(1) = 2 (-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6})j) = -\frac{\pi}{3}i + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}j$

(vi)

$a^A(t) = \frac{dv^A(t)}{dt} = 2 (-\frac{\pi^2}{9}\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i - \frac{\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j) = -\frac{\pi^2}{9}r^A(t)$

$a^A(1) = -\frac{\pi^2}{9}r^A(1) = -\frac{\pi^2}{9}2(\cos(\frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi}{6})j) = -\frac{2\pi^2}{9} (\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}j) = -\frac{\sqrt{3}\pi^2}{9}i - \frac{\pi^2}{9}j$

$a^B(1) = 2 (-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi^2}{9}\cos(\frac{\pi}{6}))i + 2 (\frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi}{6}))j = 2 (-\frac{\pi}{3}\frac{1}{2} - \frac{\pi^2}{9}\frac{\sqrt{3}}{2})i + 2 (\frac{\pi}{3}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi^2}{9}\frac{1}{2})j = (-\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}\pi^2}{9})i + (\frac{\sqrt{3}\pi}{3} - \frac{\pi^2}{9})j$

(vii)

$a_t^A(1) = 0$ (等速なので)

$a_n^A(1) = |a^A(1)| = \frac{\pi^2}{9} \cdot 2 = \frac{2\pi^2}{9}$

$a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

$a_n^B(1) = \frac{|v^B(1)|^2}{r} = \frac{(\frac{2\pi}{3})^2}{2} = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii)

$a^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

$a^B(1) = \sqrt{a_t^B(1)^2 + a_n^B(1)^2} = \sqrt{(\frac{2\pi}{3})^2 + (\frac{2\pi^2}{9})^2} = \frac{2\pi}{3} \sqrt{1 + \frac{\pi^2}{9}}$

(ix)

A,B が同じ半径で速度が等しいとする.

Aは等速円運動なので $a_t^A=0$, よって、$a^A=a_n^A = \frac{v^2}{r}$

Bは等加速度円運動とする. $a_t^B \ne 0$, よって、$a^B = \sqrt{(a_t^B)^2 + (a_n^B)^2} = \sqrt{(a_t^B)^2 + (\frac{v^2}{r})^2} \ne \frac{v^2}{r}$. よって、加速度は異なる。

3. 最終的な答え

(i) 軌跡の図（省略）

(ii)

$\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$

$\omega^B(t) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) $T^A = 6$

(iv) Aは等速円運動、Bは等加速度円運動

(v)

$v^A(1) = -\frac{\pi}{3}i + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}j$

$v^B(1) = -\frac{\pi}{3}i + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}j$

(vi)

$a^A(1) = -\frac{\sqrt{3}\pi^2}{9}i - \frac{\pi^2}{9}j$

$a^B(1) = (-\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}\pi^2}{9})i + (\frac{\sqrt{3}\pi}{3} - \frac{\pi^2}{9})j$

(vii)

$a_t^A(1) = 0$

$a_n^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

$a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

$a_n^B(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii)

$a^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

$a^B(1) = \frac{2\pi}{3} \sqrt{1 + \frac{\pi^2}{9}}$

(ix) （上記参照）