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質量 $m$ の物体が、重力と速度に比例する空気抵抗を受けながら落下する運動について考えます。 (i) 物体の運動方程式を立てる。 (ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ であることを示す。 (iii) 十分時間が経過したときの終端速度を求める。

応用数学微分方程式運動物理終端速度
2025/5/24

1. 問題の内容

質量 mm の物体が、重力と速度に比例する空気抵抗を受けながら落下する運動について考えます。
(i) 物体の運動方程式を立てる。
(ii) t=0t=0 で v=v0v=v_0 を満たす運動方程式の解が v(t)=(v0−mgb)e−bmt+mgbv(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b} であることを示す。
(iii) 十分時間が経過したときの終端速度を求める。

2. 解き方の手順

(i) 運動方程式の導出
鉛直上向きを yy 軸の正方向とします。物体に作用する力は、下向きの重力 −mg-mg と、上向きの空気抵抗 bvbv です。したがって、運動方程式は以下のようになります。
mdvdt=−mg−bvm\frac{dv}{dt} = -mg - bv
(ii) 与えられた解が運動方程式を満たすことの確認
与えられた解 v(t)=(v0−mgb)e−bmt+mgbv(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b} を時間 tt で微分します。
dvdt=(v0−mgb)(−bm)e−bmt=−bm(v0−mgb)e−bmt\frac{dv}{dt} = (v_0 - \frac{mg}{b}) (-\frac{b}{m}) e^{-\frac{b}{m}t} = -\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t}
これを運動方程式 mdvdt=−mg−bvm\frac{dv}{dt} = -mg - bv に代入します。
m[−bm(v0−mgb)e−bmt]=−mg−b[(v0−mgb)e−bmt+mgb]m [-\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t}] = -mg - b[(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}]
−b(v0−mgb)e−bmt=−mg−b(v0−mgb)e−bmt−bmgb-b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} = -mg - b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - b\frac{mg}{b}
−b(v0−mgb)e−bmt=−mg−b(v0−mgb)e−bmt−mg-b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} = -mg - b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - mg
−b(v0−mgb)e−bmt=−b(v0−mgb)e−bmt−2mg-b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} = -b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - 2mg
左辺と右辺が一致しないため、元の運動方程式に代入する方針ではうまくいきません。
確認を楽にするために、運動方程式を以下のように書き換えます。
dvdt=−g−bmv\frac{dv}{dt} = -g - \frac{b}{m}v
与えられた解を代入します。
−bm(v0−mgb)e−bmt=−g−bm((v0−mgb)e−bmt+mgb)-\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} = -g - \frac{b}{m}((v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b})
−bm(v0−mgb)e−bmt=−g−bm(v0−mgb)e−bmt−bmmgb-\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} = -g - \frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - \frac{b}{m}\frac{mg}{b}
−bm(v0−mgb)e−bmt=−g−bm(v0−mgb)e−bmt−g-\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} = -g - \frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - g
−bm(v0−mgb)e−bmt=−bm(v0−mgb)e−bmt−2g-\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} = -\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} -2g
左辺と右辺が一致しません。問題文を確認すると、鉛直下向きを正として定義されているようです。そこで、運動方程式を再度立て直すと、
mdvdt=mg−bvm\frac{dv}{dt} = mg - bv
dvdt=g−bmv\frac{dv}{dt} = g - \frac{b}{m}v
ここでv(t)=(v0−mgb)e−bmt+mgbv(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}を与えられた解とします。これを時間ttで微分すると、
dvdt=(v0−mgb)(−bm)e−bmt=−bm(v0−mgb)e−bmt\frac{dv}{dt} = (v_0 - \frac{mg}{b})(-\frac{b}{m})e^{-\frac{b}{m}t} = -\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t}
これを運動方程式に代入すると、
−bm(v0−mgb)e−bmt=g−bm((v0−mgb)e−bmt+mgb)-\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} = g - \frac{b}{m}((v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b})
−bm(v0−mgb)e−bmt=g−bm(v0−mgb)e−bmt−bmmgb-\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} = g - \frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - \frac{b}{m} \frac{mg}{b}
−bm(v0−mgb)e−bmt=g−bm(v0−mgb)e−bmt−g-\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} = g - \frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - g
−bm(v0−mgb)e−bmt=−bm(v0−mgb)e−bmt-\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} = -\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t}
したがって、与えられた解は運動方程式を満たします。
初期条件t=0t=0でv=v0v=v_0を満たすか確認します。
v(0)=(v0−mgb)e0+mgb=v0−mgb+mgb=v0v(0) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{0} + \frac{mg}{b} = v_0 - \frac{mg}{b} + \frac{mg}{b} = v_0
したがって、与えられた解は初期条件も満たします。
(iii) 終端速度の計算
十分時間が経過したとき (t→∞t \to \infty) 、 e−bmt→0e^{-\frac{b}{m}t} \to 0 となります。したがって、終端速度 v∞v_{\infty} は以下のようになります。
v∞=lim⁡t→∞v(t)=lim⁡t→∞[(v0−mgb)e−bmt+mgb]=0+mgb=mgbv_{\infty} = \lim_{t \to \infty} v(t) = \lim_{t \to \infty} [(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}] = 0 + \frac{mg}{b} = \frac{mg}{b}

3. 最終的な答え

(i) 運動方程式：mdvdt=mg−bvm\frac{dv}{dt} = mg - bv
(ii) 解の確認：上記参照
(iii) 終端速度：mgb\frac{mg}{b}

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