半径2の円周上を運動する質点A, Bについて、与えられた位置ベクトル $\vec{r}^A(t)$ と $\vec{r}^B(t)$ に基づいて、軌跡、角速度、周期、速度の接線成分、速度、加速度、加速度の接線・法線成分、加速度の大きさなどを求める問題です。また、同じ半径で速度が等しい円運動であっても、加速度が異なることがあることを例を挙げて示す必要があります。

1. 問題の内容

半径2の円周上を運動する質点A, Bについて、与えられた位置ベクトル $\vec{r}^A(t)$ と $\vec{r}^B(t)$ に基づいて、軌跡、角速度、周期、速度の接線成分、速度、加速度、加速度の接線・法線成分、加速度の大きさなどを求める問題です。また、同じ半径で速度が等しい円運動であっても、加速度が異なることがあることを例を挙げて示す必要があります。

2. 解き方の手順

(i) 軌跡の描画

* 質点Aの位置ベクトルは $\vec{r}^A(t) = 2 \left( \cos \left( \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6} \right) \vec{i} + \sin \left( \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6} \right) \vec{j} \right)$

* 質点Bの位置ベクトルは $\vec{r}^B(t) = 2 \left( \cos \left( \frac{\pi t^2}{6} \right) \vec{i} + \sin \left( \frac{\pi t^2}{6} \right) \vec{j} \right)$

* $t = 0, 1, 2, 3$ におけるそれぞれの位置を計算し、円周上に点をプロットします。AとBが区別できるように点を分けて描きます。

(ii) 角速度の定義と計算

* 角速度の定義: 角速度 $\omega$ は、単位時間あたりの回転角の変化量です。

* $A$の角速度 $\omega^A(t)$: $\vec{r}^A(t)$ の位相部分の時間微分を計算します。 $\omega^A(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{3}$

* $B$の角速度 $\omega^B(t)$: $\vec{r}^B(t)$ の位相部分の時間微分を計算します。 $\omega^B(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi t^2}{6} \right) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期の計算

* Aの周期 $T_A$: $\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$ より、$\frac{2\pi}{T_A} = \frac{\pi}{3}$ なので、$T_A = 6$

* Bの周期 $T_B$: Bの角速度は時間とともに変化するため、周期は存在しません。

(iv) 速度の接線成分の計算

* 速度 $\vec{v}^A(t) = \frac{d}{dt} \vec{r}^A(t) = 2 \left( -\frac{\pi}{3} \sin \left( \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6} \right) \vec{i} + \frac{\pi}{3} \cos \left( \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6} \right) \vec{j} \right)$

速度の大きさ $v^A(t) = |\vec{v}^A(t)| = \frac{2\pi}{3}$

* 速度 $\vec{v}^B(t) = \frac{d}{dt} \vec{r}^B(t) = 2 \left( -\frac{\pi t}{3} \sin \left( \frac{\pi t^2}{6} \right) \vec{i} + \frac{\pi t}{3} \cos \left( \frac{\pi t^2}{6} \right) \vec{j} \right)$

速度の大きさ $v^B(t) = |\vec{v}^B(t)| = \frac{2\pi t}{3}$

* Aの速さは一定なので等速円運動です。Bの速さは時間とともに増加するので等加速度運動です。

(v) $t=1$ における速度の計算と図示

* $\vec{v}^A(1) = 2 \left( -\frac{\pi}{3} \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \vec{i} + \frac{\pi}{3} \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) \vec{j} \right) = 2 \left( -\frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{2} \vec{i} + \frac{\pi}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{j} \right) = -\frac{\pi}{3} \vec{i} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3} \vec{j}$

* $\vec{v}^B(1) = 2 \left( -\frac{\pi}{3} \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \vec{i} + \frac{\pi}{3} \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) \vec{j} \right) = 2 \left( -\frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{2} \vec{i} + \frac{\pi}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{j} \right) = -\frac{\pi}{3} \vec{i} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3} \vec{j}$

* それぞれの速度ベクトルを軌跡上の $t=1$ の点から描画します。

(vi) $t=1$ における加速度の計算と図示

* $\vec{a}^A(t) = \frac{d}{dt} \vec{v}^A(t) = 2 \left( -\frac{\pi^2}{9} \cos \left( \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6} \right) \vec{i} - \frac{\pi^2}{9} \sin \left( \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6} \right) \vec{j} \right)$

$\vec{a}^A(1) = 2 \left( -\frac{\pi^2}{9} \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) \vec{i} - \frac{\pi^2}{9} \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \vec{j} \right) = -\frac{\sqrt{3}\pi^2}{9} \vec{i} - \frac{\pi^2}{9} \vec{j}$

* $\vec{a}^B(t) = \frac{d}{dt} \vec{v}^B(t) = 2\left( -\frac{\pi}{3}\sin\left(\frac{\pi t^2}{6}\right) - \frac{\pi^2t^2}{18}\cos\left(\frac{\pi t^2}{6}\right) \right) \vec{i} + 2\left( \frac{\pi}{3}\cos\left(\frac{\pi t^2}{6}\right) - \frac{\pi^2t^2}{18}\sin\left(\frac{\pi t^2}{6}\right) \right) \vec{j}$

$\vec{a}^B(1) = 2\left( -\frac{\pi}{3}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi^2}{18}\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \right) \vec{i} + 2\left( \frac{\pi}{3}\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi^2}{18}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \right) \vec{j} = \left( -\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}\pi^2}{18} \right) \vec{i} + \left( \frac{\sqrt{3}\pi}{3} - \frac{\pi^2}{18} \right) \vec{j}$

* それぞれの加速度ベクトルを軌跡上の $t=1$ の点から描画します。

(vii) $t=1$ における加速度の接線・法線成分

* Aの接線成分: $\vec{a}^A(1)$ と $\vec{v}^A(1)$ の内積を取り、速度の大きさで割ります。 $a_t^A(1) = \frac{\vec{a}^A(1) \cdot \vec{v}^A(1)}{|\vec{v}^A(1)|}=0$

Aの法線成分: 加速度の大きさの二乗から接線成分の二乗を引いて平方根を取ります。 $a_n^A(1) = |\vec{a}^A(1)| = \frac{2\pi^2}{9}$

* Bの接線成分: $\vec{a}^B(1)$ と $\vec{v}^B(1)$ の内積を取り、速度の大きさで割ります。 $a_t^B(1) = \frac{\vec{a}^B(1) \cdot \vec{v}^B(1)}{|\vec{v}^B(1)|} = \frac{\pi}{3}$

Bの法線成分: 加速度の大きさの二乗から接線成分の二乗を引いて平方根を取ります。 $a_n^B(1) = \sqrt{|\vec{a}^B(1)|^2-(a_t^B(1))^2} = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) $t=1$ における加速度の大きさ

* $a^A(1) = |\vec{a}^A(1)| = \sqrt{\left( -\frac{\sqrt{3}\pi^2}{9} \right)^2 + \left( -\frac{\pi^2}{9} \right)^2} = \sqrt{\frac{3\pi^4}{81} + \frac{\pi^4}{81}} = \frac{2\pi^2}{9}$

* $a^B(1) = |\vec{a}^B(1)| = \frac{\pi}{9}\sqrt{(\sqrt{3} \pi + 3)^2 + (3\sqrt{3} - \pi)^2}$

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動でも加速度が異なる例

* 例：質点Cを考え、$\vec{r}^C(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3}) \vec{i} + \sin(\frac{\pi t}{3}) \vec{j})$ とする。

$t=1$ で$v^A(1) = v^C(1)$の場合を考える。

$t=1$の時、$v^A(1) = \frac{2\pi}{3} = v^C(1)$となり速さは等しくなる。

加速度は、$\vec{a}^C(t) = -\frac{\pi^2}{9} \vec{r}^C(t)$となり、$\vec{a}^C(t) \neq \vec{a}^A(t)$.

つまり、同じ半径で速さが等しくても、加速度が異なることがある。

3. 最終的な答え

(i) 軌跡: 上記手順に従って作図してください。

(ii) 角速度: $\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$, $\omega^B(t) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期: $T_A = 6$, $T_B$ に周期はない

(iv) 速度の接線成分: $v^A(t) = \frac{2\pi}{3}$, $v^B(t) = \frac{2\pi t}{3}$ 。Aは等速円運動、Bは等加速度円運動。

(v) $t=1$ における速度: $\vec{v}^A(1) = -\frac{\pi}{3} \vec{i} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3} \vec{j}$, $\vec{v}^B(1) = -\frac{\pi}{3} \vec{i} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3} \vec{j}$。軌跡上に図示してください。

(vi) $t=1$ における加速度: $\vec{a}^A(1) = -\frac{\sqrt{3}\pi^2}{9} \vec{i} - \frac{\pi^2}{9} \vec{j}$, $\vec{a}^B(1) = \left( -\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}\pi^2}{18} \right) \vec{i} + \left( \frac{\sqrt{3}\pi}{3} - \frac{\pi^2}{18} \right) \vec{j}$。軌跡上に図示してください。

(vii) $t=1$ における加速度の接線・法線成分: $a_t^A(1) = 0$, $a_n^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$, $a_t^B(1) = \frac{\pi}{3}$, $a_n^B(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) $t=1$ における加速度の大きさ: $a^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$, $a^B(1) = \frac{\pi}{9}\sqrt{(\sqrt{3} \pi + 3)^2 + (3\sqrt{3} - \pi)^2}$

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動でも加速度が異なる例：上記を参照してください。