半径2の円周上を運動する質点AとBについて、それぞれの位置ベクトルが与えられている。 質点Aの位置ベクトルは $r^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$ であり、 質点Bの位置ベクトルは $r^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$ である。 以下の問いに答える。 (i) $0 \le t \le 3$ におけるA, Bの軌跡をそれぞれ描き、$t=0,1,2,3$ における質点の位置に印をつける。 (ii) 一般的な円運動の角速度の定義とその意味を書き、A, Bの角速度 $\omega^A(t)$, $\omega^B(t)$ を求める。 (iii) A, Bについて、周期があればそれを求める。 (iv) A, Bの速度の接線成分 $v^A(t)$, $v^B(t)$ を求め、Aは等速円運動、Bは等加速度円運動であることを確かめる。 (v) $t=1$ におけるA, Bの速度 $v^A(1)$, $v^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示する。 (vi) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1)$, $a^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示する。 (vii) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1)$, $a^B(1)$ の接線方向成分 $a_t^A(1)$, $a_t^B(1)$ (進行方向を正)、法線方向成分 $a_n^A(1)$, $a_n^B(1)$ (外向きを正)をそれぞれ求める。 (viii) $t=1$ におけるA, Bの加速度の大きさ $a^A(1)$, $a^B(1)$ を求める。 (ix) 同じ半径で速度が等しい円運動であっても、加速度は異なることがあることを例を挙げて示す。

1. 問題の内容

半径2の円周上を運動する質点AとBについて、それぞれの位置ベクトルが与えられている。

質点Aの位置ベクトルは $r^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$ であり、

質点Bの位置ベクトルは $r^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$ である。

以下の問いに答える。

(i) $0 \le t \le 3$ におけるA, Bの軌跡をそれぞれ描き、$t=0,1,2,3$ における質点の位置に印をつける。

(ii) 一般的な円運動の角速度の定義とその意味を書き、A, Bの角速度 $\omega^A(t)$, $\omega^B(t)$ を求める。

(iii) A, Bについて、周期があればそれを求める。

(iv) A, Bの速度の接線成分 $v^A(t)$, $v^B(t)$ を求め、Aは等速円運動、Bは等加速度円運動であることを確かめる。

(v) $t=1$ におけるA, Bの速度 $v^A(1)$, $v^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示する。

(vi) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1)$, $a^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示する。

(vii) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1)$, $a^B(1)$ の接線方向成分 $a_t^A(1)$, $a_t^B(1)$ (進行方向を正)、法線方向成分 $a_n^A(1)$, $a_n^B(1)$ (外向きを正)をそれぞれ求める。

(viii) $t=1$ におけるA, Bの加速度の大きさ $a^A(1)$, $a^B(1)$ を求める。

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動であっても、加速度は異なることがあることを例を挙げて示す。

2. 解き方の手順

(i) 軌跡の描画:

- 質点A: $r^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$ より、半径2の円周上を運動する。

$t=0: r^A(0) = 2(\cos(-\frac{\pi}{6})i + \sin(-\frac{\pi}{6})j) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{1}{2}j) = (\sqrt{3}, -1)$

$t=1: r^A(1) = 2(\cos(\frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi}{6})j) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}j) = (\sqrt{3}, 1)$

$t=2: r^A(2) = 2(\cos(\frac{\pi}{2})i + \sin(\frac{\pi}{2})j) = 2(0i + 1j) = (0, 2)$

$t=3: r^A(3) = 2(\cos(\frac{5\pi}{6})i + \sin(\frac{5\pi}{6})j) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}j) = (-\sqrt{3}, 1)$

- 質点B: $r^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$ より、半径2の円周上を運動する。

$t=0: r^B(0) = 2(\cos(0)i + \sin(0)j) = 2(1i + 0j) = (2, 0)$

$t=1: r^B(1) = 2(\cos(\frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi}{6})j) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}j) = (\sqrt{3}, 1)$

$t=2: r^B(2) = 2(\cos(\frac{2\pi}{3})i + \sin(\frac{2\pi}{3})j) = 2(-\frac{1}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}j) = (-1, \sqrt{3})$

$t=3: r^B(3) = 2(\cos(\frac{3\pi}{2})i + \sin(\frac{3\pi}{2})j) = 2(0i - 1j) = (0, -2)$

(ii) 角速度の定義:

角速度 $\omega$ は、単位時間あたりの回転角の変化量である。

$\omega = \frac{d\theta}{dt}$

- 質点A: $\theta^A(t) = \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}$ より、$\omega^A(t) = \frac{d\theta^A}{dt} = \frac{\pi}{3}$

- 質点B: $\theta^B(t) = \frac{\pi t^2}{6}$ より、$\omega^B(t) = \frac{d\theta^B}{dt} = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期:

- 質点A: 角速度 $\omega^A = \frac{\pi}{3}$ は一定なので、等速円運動である。周期 $T^A = \frac{2\pi}{\omega^A} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 6$

- 質点B: 角速度 $\omega^B = \frac{\pi t}{3}$ は時間とともに変化するので、等速円運動ではないため、周期は存在しない。

(iv) 接線成分:

- 質点A: 速度 $v^A(t) = r \omega^A = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ （一定）

- 質点B: 速度 $v^B(t) = r \omega^B(t) = 2 \cdot \frac{\pi t}{3} = \frac{2\pi t}{3}$

Aは速度が一定なので等速円運動、Bは速度が時間に比例して増加するので等加速度円運動である。

(v) $t=1$ における速度:

- 質点A: $v^A(1) = \frac{2\pi}{3}$

- 質点B: $v^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

速度ベクトルはそれぞれの点の接線方向に描画する。

(vi) $t=1$ における加速度:

- 質点A: $a^A(t) = -\omega^2 r = - (\frac{\pi}{3})^2 * r = -\frac{\pi^2}{9}r$. 従って$a^A(1) = - \frac{\pi^2}{9}(\sqrt{3}i + j)$

- 質点B: $a^B(t) = a_t + a_n = r \alpha t + \omega^2 r$, $\alpha = \frac{\pi}{3}$, $a^B(t) = \frac{2\pi}{3} \frac{d}{dt} t = \frac{2\pi}{3}$,従って $a^B(1) = a_t + a_n$, 接線成分と法線成分に分けて計算する。

(vii) $t=1$ における接線・法線方向成分：

- 質点A: 等速円運動なので、接線方向の加速度成分は0。法線方向の加速度成分は求心加速度 $a_n^A(1) = \frac{v^2}{r} = \frac{(\frac{2\pi}{3})^2}{2} = \frac{2\pi^2}{9}$

- 質点B: 接線方向成分 $a_t^B(1) = \frac{dv^B}{dt} = \frac{2\pi}{3}$. 法線方向成分 $a_n^B(1) = \frac{v^2}{r} = \frac{(\frac{2\pi}{3})^2}{2} = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) $t=1$ における加速度の大きさ:

- 質点A: $a^A(1) = \sqrt{0^2 + (\frac{2\pi^2}{9})^2} = \frac{2\pi^2}{9}$

- 質点B: $a^B(1) = \sqrt{(\frac{2\pi}{3})^2 + (\frac{2\pi^2}{9})^2} = \frac{2\pi}{3} \sqrt{1 + \frac{\pi^2}{9}}$

(ix) 加速度が異なる例:

　等速円運動と等加速度円運動。同じ半径で、ある瞬間の速度が等しい場合でも、等速円運動では接線方向の加速度は0であり、加速度は向心加速度のみ。等加速度円運動では、接線方向にも加速度が存在するため、加速度の大きさが異なる。

3. 最終的な答え

(i) (軌跡の図は省略)

A: t=0: $(\sqrt{3}, -1)$, t=1: $(\sqrt{3}, 1)$, t=2: $(0, 2)$, t=3: $(-\sqrt{3}, 1)$

B: t=0: $(2, 0)$, t=1: $(\sqrt{3}, 1)$, t=2: $(-1, \sqrt{3})$, t=3: $(0, -2)$

(ii) 角速度:

$\omega = \frac{d\theta}{dt}$

$\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$

$\omega^B(t) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期:

$T^A = 6$

Bは周期なし

(iv) 接線成分:

$v^A(t) = \frac{2\pi}{3}$

$v^B(t) = \frac{2\pi t}{3}$

(v) $t=1$ における速度: (図は省略)

$v^A(1) = \frac{2\pi}{3}$

$v^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

(vi) $t=1$ における加速度: (図は省略、計算は省略)

(vii) $t=1$ における接線・法線方向成分：

$a_t^A(1) = 0$

$a_n^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

$a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

$a_n^B(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) $t=1$ における加速度の大きさ:

$a^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

$a^B(1) = \frac{2\pi}{3} \sqrt{1 + \frac{\pi^2}{9}}$

(ix) 加速度が異なる例:

等速円運動と等加速度円運動