高さ $H$ から小球Aを自由落下させ、同時に高さ $2H$ から小球Bを鉛直下向きに投げ下ろしたところ、AとBは同時に地面に到達した。縦軸に小球の速さ、横軸に落下時間をとったグラフにおいて、小球Bのグラフが図の①〜③のどれであるかを答える問題。ただし、図の破線は小球Aのグラフであり、$T$ は小球Aが地面に到達するまでの時間である。

1. 問題の内容

高さ $H$ から小球Aを自由落下させ、同時に高さ $2H$ から小球Bを鉛直下向きに投げ下ろしたところ、AとBは同時に地面に到達した。縦軸に小球の速さ、横軸に落下時間をとったグラフにおいて、小球Bのグラフが図の①〜③のどれであるかを答える問題。ただし、図の破線は小球Aのグラフであり、$T$ は小球Aが地面に到達するまでの時間である。

2. 解き方の手順

まず、小球Aの運動を考える。高さ $H$ から自由落下するので、落下時間 $T$ は、

$H = \frac{1}{2}gT^2$

より、

$T = \sqrt{\frac{2H}{g}}$

と表される。

次に、小球Bの運動を考える。高さ $2H$ から初速度 $v_0$ で投げ下ろすので、落下時間 $T$ は小球Aと同じであるから、

$2H = v_0 T + \frac{1}{2}gT^2$

と表される。

$v_0 T = 2H - \frac{1}{2}gT^2 = 2H - H = H$

より、

$v_0 = \frac{H}{T}$

ここで、$T = \sqrt{\frac{2H}{g}}$を代入すると、

$v_0 = \frac{H}{\sqrt{\frac{2H}{g}}} = \sqrt{\frac{gH}{2}}$

小球Bの速さ $v$ は、時間 $t$ の関数として、

$v = v_0 + gt = \sqrt{\frac{gH}{2}} + gt$

と表される。

これは、$t$ について線形の増加関数であり、切片が $\sqrt{\frac{gH}{2}}$ である。また、時間 $T$ における速さは、

$v = \sqrt{\frac{gH}{2}} + g\sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{gH}{2}} + \sqrt{2gH} = \sqrt{\frac{gH}{2}} + \sqrt{\frac{4gH}{2}} = \frac{5}{ \sqrt{2}}\sqrt{gH}$

小球Aの速さ $v$ は、$v = gt$ であり、時間 $T$ における速さは、

$v = gT = g \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{2gH}$

グラフの傾きは $g$ で等しい。また、$t=0$ での速度が $v_0 = \sqrt{\frac{gH}{2}}$ と正の値を持つのは、グラフ②である。

3. 最終的な答え

②