半径2の円周上を運動する質点AとBについて、以下の情報が与えられています。 Aの位置: $\vec{r}^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) \vec{i} + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) \vec{j})$ Bの位置: $\vec{r}^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6}) \vec{i} + \sin(\frac{\pi t^2}{6}) \vec{j})$ 以下の問いに答えます。 (i) $0 \le t \le 3$ におけるA, Bの軌跡と、$t = 0, 1, 2, 3$ における位置を求め、図示します。 (ii) 一般的な円運動の角速度の定義を説明し、A, Bの角速度 $\omega^A(t)$, $\omega^B(t)$ を求めます。 (iii) A, Bの周期を求めます。 (iv) A, Bの速度の接線成分 $v^A(t)$, $v^B(t)$ を求め、Aが等速円運動、Bが等加速度円運動であることを確認します。 (v) $t = 1$ におけるA, Bの速度 $\vec{v}^A(1)$, $\vec{v}^B(1)$ を求め、(i)の図に図示します。 (vi) $t = 1$ におけるA, Bの加速度 $\vec{a}^A(1)$, $\vec{a}^B(1)$ を求め、(i)の図に図示します。 (vii) $t = 1$ におけるA, Bの加速度の接線方向成分 $a_t^A(1)$, $a_t^B(1)$ と法線方向成分 $a_n^A(1)$, $a_n^B(1)$ を求めます。 (viii) $t = 1$ におけるA, Bの加速度の大きさ $a^A(1)$, $a^B(1)$ を求めます。 (ix) 同じ半径で速度が等しい円運動でも、加速度が異なる例を示します。

1. 問題の内容

半径2の円周上を運動する質点AとBについて、以下の情報が与えられています。

Aの位置: $\vec{r}^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) \vec{i} + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) \vec{j})$

Bの位置: $\vec{r}^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6}) \vec{i} + \sin(\frac{\pi t^2}{6}) \vec{j})$

以下の問いに答えます。

(i) $0 \le t \le 3$ におけるA, Bの軌跡と、$t = 0, 1, 2, 3$ における位置を求め、図示します。

(ii) 一般的な円運動の角速度の定義を説明し、A, Bの角速度 $\omega^A(t)$, $\omega^B(t)$ を求めます。

(iii) A, Bの周期を求めます。

(iv) A, Bの速度の接線成分 $v^A(t)$, $v^B(t)$ を求め、Aが等速円運動、Bが等加速度円運動であることを確認します。

(v) $t = 1$ におけるA, Bの速度 $\vec{v}^A(1)$, $\vec{v}^B(1)$ を求め、(i)の図に図示します。

(vi) $t = 1$ におけるA, Bの加速度 $\vec{a}^A(1)$, $\vec{a}^B(1)$ を求め、(i)の図に図示します。

(vii) $t = 1$ におけるA, Bの加速度の接線方向成分 $a_t^A(1)$, $a_t^B(1)$ と法線方向成分 $a_n^A(1)$, $a_n^B(1)$ を求めます。

(viii) $t = 1$ におけるA, Bの加速度の大きさ $a^A(1)$, $a^B(1)$ を求めます。

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動でも、加速度が異なる例を示します。

2. 解き方の手順

(i) 軌跡の描画と位置のプロット

$\vec{r}^A(t)$ と $\vec{r}^B(t)$ の式に $t = 0, 1, 2, 3$ を代入して、それぞれの質点の位置を計算します。そして、その軌跡を円周上に描画し、求めた位置に印をつけます。AとBを区別できるように描きます。

(ii) 角速度の定義と計算

円運動の角速度は、単位時間あたりの回転角度の変化率です。

$\omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt}$

Aの角速度: $\theta^A(t) = \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}$ より、$\omega^A(t) = \frac{d\theta^A(t)}{dt} = \frac{\pi}{3}$

Bの角速度: $\theta^B(t) = \frac{\pi t^2}{6}$ より、$\omega^B(t) = \frac{d\theta^B(t)}{dt} = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期の計算

Aの周期: $\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$ なので、周期 $T_A = \frac{2\pi}{\omega^A} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 6$

Bの周期: Bは等速円運動ではないので、周期は定義されません。

(iv) 接線成分の計算と確認

速度は位置を時間で微分して求めます。

$\vec{v}^A(t) = \frac{d\vec{r}^A(t)}{dt} = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) \vec{i} + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) \vec{j})$

$\vec{v}^B(t) = \frac{d\vec{r}^B(t)}{dt} = 2(-\frac{\pi t}{3}\sin(\frac{\pi t^2}{6}) \vec{i} + \frac{\pi t}{3}\cos(\frac{\pi t^2}{6}) \vec{j})$

速度の大きさは、$v^A(t) = |\vec{v}^A(t)| = \frac{2\pi}{3}$ (一定)

$v^B(t) = |\vec{v}^B(t)| = \frac{2\pi t}{3}$ (時間とともに増加)

したがって、Aは等速円運動、Bは等加速度円運動です。接線成分はそれぞれ速度の大きさに等しいので、$v^A(t) = \frac{2\pi}{3}$, $v^B(t) = \frac{2\pi t}{3}$

(v) $t = 1$ における速度の計算と図示

$\vec{v}^A(1) = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{6}) \vec{i} + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}) \vec{j}) = 2(-\frac{\pi}{3}\cdot\frac{1}{2} \vec{i} + \frac{\pi}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{j}) = -\frac{\pi}{3}\vec{i} + \frac{\pi\sqrt{3}}{3}\vec{j}$

$\vec{v}^B(1) = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{6}) \vec{i} + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}) \vec{j}) = -\frac{\pi}{3}\vec{i} + \frac{\pi\sqrt{3}}{3}\vec{j}$

(vi) $t = 1$ における加速度の計算と図示

$\vec{a}^A(t) = \frac{d\vec{v}^A(t)}{dt} = 2(-\frac{\pi^2}{9}\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) \vec{i} - \frac{\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) \vec{j})$

$\vec{a}^B(t) = \frac{d\vec{v}^B(t)}{dt} = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi t^2}{6}) - \frac{\pi^2t^2}{9}\cos(\frac{\pi t^2}{6}) \vec{i} + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi t^2}{6}) - \frac{\pi^2t^2}{9}\sin(\frac{\pi t^2}{6}) \vec{j})$

$\vec{a}^A(1) = 2(-\frac{\pi^2}{9}\cos(\frac{\pi}{6}) \vec{i} - \frac{\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi}{6}) \vec{j}) = -\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9}\vec{i} - \frac{\pi^2}{9}\vec{j}$

$\vec{a}^B(1) = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi^2}{9}\cos(\frac{\pi}{6}) \vec{i} + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi}{6}) \vec{j}) = (-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi^2\sqrt{3}}{9})\vec{i} + (\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi^2}{9})\vec{j}$

(vii) 接線方向成分と法線方向成分の計算

$a_t^A(1) = 0$ (等速円運動のため)

$a_n^A(1) = |\vec{a}^A(1)| = \frac{v_A^2}{r} = \frac{(2\pi/3)^2}{2} = \frac{2\pi^2}{9}$

$a_t^B(1) = \frac{dv_B}{dt} = \frac{2\pi}{3}$

$a_n^B(1) = \frac{v_B^2}{r} = \frac{(2\pi/3)^2}{2} = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) 加速度の大きさの計算

$a^A(1) = |\vec{a}^A(1)| = \frac{2\pi^2}{9}$

$a^B(1) = \sqrt{(a_t^B)^2 + (a_n^B)^2} = \sqrt{(\frac{2\pi}{3})^2 + (\frac{2\pi^2}{9})^2} = \frac{2\pi}{3}\sqrt{1+\frac{\pi^2}{9}}$

(ix) 加速度が異なる例

半径rで等速円運動をしている物体AとBを考えます。Aは角速度$\omega$で運動し、Bも同じ角速度$\omega$で運動します。このとき、AとBの速度は等しくなります。しかし、Aが等速円運動をしているのに対し、Bの角速度が時間的に変動する場合を考えます。Bには接線方向の加速度が生じるので、AとBの加速度は異なると言うことができます。

3. 最終的な答え

(i) 軌跡：A, Bともに半径2の円周上。位置は上記手順参照

(ii) 角速度：

$\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$

$\omega^B(t) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期：

A: $T_A = 6$

B: 周期なし

(iv) 接線成分：

$v^A(t) = \frac{2\pi}{3}$

$v^B(t) = \frac{2\pi t}{3}$

(v) 速度：上記手順参照(図示は省略)

(vi) 加速度：上記手順参照(図示は省略)

(vii) 接線・法線方向成分：

$a_t^A(1) = 0$

$a_n^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

$a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

$a_n^B(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) 加速度の大きさ：

$a^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

$a^B(1) = \frac{2\pi}{3}\sqrt{1+\frac{\pi^2}{9}}$

(ix) 加速度が異なる例：上記手順参照