Aさんの効用関数 $U(C,L)=(C-20)(L-80)$ が与えられています。ここで、$C$ は消費財の額（単位：千円）、$L$ は余暇時間です。Aさんは1週間のうち168時間を労働時間と余暇時間に使い、時給は5千円、親から30千円のお小遣いがもらえます。以下の問いに答えます。 a. Aさんの予算制約線を書きなさい。 b. $L=100$ のときのAさんの限界代替率を求めなさい。 c. Aさんの留保賃金を求めなさい。 d. Aさんの最適な余暇時間と消費財の組み合わせを求めなさい。

1. 問題の内容

Aさんの効用関数 $U(C,L)=(C-20)(L-80)$ が与えられています。ここで、$C$ は消費財の額（単位：千円）、$L$ は余暇時間です。Aさんは1週間のうち168時間を労働時間と余暇時間に使い、時給は5千円、親から30千円のお小遣いがもらえます。以下の問いに答えます。

a. Aさんの予算制約線を書きなさい。

b. $L=100$ のときのAさんの限界代替率を求めなさい。

c. Aさんの留保賃金を求めなさい。

d. Aさんの最適な余暇時間と消費財の組み合わせを求めなさい。

2. 解き方の手順

a. 予算制約線

労働時間を $H$ とすると、$L + H = 168$ より、$H = 168 - L$ です。

Aさんの所得は、労働による所得 $5H$ 千円と、お小遣い 30千円の合計なので、$5H + 30$ 千円となります。

予算制約式は、$C = 5H + 30$ です。

$H = 168 - L$ を代入すると、$C = 5(168 - L) + 30 = 840 - 5L + 30 = 870 - 5L$ となります。

したがって、予算制約線は $C = 870 - 5L$ です。

b. 限界代替率

限界代替率は、余暇の限界効用 $MU_L$ を消費の限界効用 $MU_C$ で割ったものです。

$MU_L = \frac{\partial U}{\partial L} = C - 20$

$MU_C = \frac{\partial U}{\partial C} = L - 80$

限界代替率 $MRS_{L,C} = \frac{MU_L}{MU_C} = \frac{C - 20}{L - 80}$

$L = 100$ のとき、$C = 870 - 5(100) = 870 - 500 = 370$ なので、

$MRS_{L,C} = \frac{370 - 20}{100 - 80} = \frac{350}{20} = \frac{35}{2} = 17.5$

c. 留保賃金

留保賃金とは、労働によって効用が変化しない賃金のことです。労働時間が増加しても効用が変化しない場合、$\frac{MU_L}{MU_C}$が賃金率と等しくなります。

$MRS = \frac{C - 20}{L - 80} = w$

$\frac{C - 20}{L - 80} = 5$

$C - 20 = 5(L - 80)$

$C = 5L - 400 + 20 = 5L - 380$

また予算制約式は、$C = 870 - 5L$

2つの式を連立して解くと、

$5L - 380 = 870 - 5L$

$10L = 1250$

$L = 125$

$C = 870 - 5(125) = 870 - 625 = 245$

効用関数に代入すると、

$U = (245 - 20)(125 - 80) = (225)(45) = 10125$

留保賃金は、労働時間0のときの消費水準から計算できます。

労働時間0なので余暇時間は168時間。

$C = 870 - 5(168) = 870 - 840 = 30$

$U = (30 - 20)(168 - 80) = 10 \times 88 = 880$

留保賃金は$U = 0$となる点なので、$C = 20$または$L = 80$となる組み合わせです。

もし$L = 168$だとすると、$C = 870 - 5 * 168 = 30$となります。このとき、$U(C,L) = (30-20)(168-80) = 10 * 88 = 880$となり0ではありません。

留保賃金は労働をしないときの効用と等しくなる賃金率と考えることができます。したがって、留保賃金は0です。

d. 最適な余暇時間と消費財の組み合わせ

最適な消費と余暇の組み合わせは、限界代替率が賃金率に等しくなる点で達成されます。

$MRS_{L,C} = \frac{C - 20}{L - 80} = 5$

$C - 20 = 5(L - 80)$

$C = 5L - 400 + 20 = 5L - 380$

予算制約式は $C = 870 - 5L$ なので、

$5L - 380 = 870 - 5L$

$10L = 1250$

$L = 125$

$C = 870 - 5(125) = 870 - 625 = 245$

3. 最終的な答え

a. 予算制約線: $C = 870 - 5L$

b. $L=100$ のときの限界代替率: $17.5$

c. 留保賃金: $0$

d. 最適な余暇時間と消費財の組み合わせ: 余暇時間 $L=125$、消費財 $C=245$