5つの数字0, 1, 2, 3, 4を使ってできる3桁の整数のうち、以下の条件を満たす整数は何個あるかを求める問題です。ただし、同じ数字は2度以上使わないものとします。 (1) 偶数 (2) 3の倍数

1. 問題の内容

5つの数字0, 1, 2, 3, 4を使ってできる3桁の整数のうち、以下の条件を満たす整数は何個あるかを求める問題です。ただし、同じ数字は2度以上使わないものとします。

(1) 偶数

(2) 3の倍数

2. 解き方の手順

(1) 偶数について

3桁の整数が偶数であるためには、一の位が偶数である必要があります。使える偶数は0, 2, 4の3つです。

(i) 一の位が0の場合：百の位は0以外の4つの数字から選べます。十の位は残りの3つの数字から選べます。したがって、 $4 \times 3 = 12$ 個の偶数があります。

(ii) 一の位が2または4の場合：一の位は2通りあります。百の位は0と一の位に使った数字以外から選ぶ必要があります。したがって、3通りの選び方があります。十の位は残りの3つの数字から選べます。したがって、 $2 \times 3 \times 3 = 18$ 個の偶数があります。

(i)と(ii)を合わせると、 $12 + 18 = 30$ 個の偶数があります。

(2) 3の倍数について

3の倍数であるためには、各桁の数字の合計が3の倍数である必要があります。使える数字は0, 1, 2, 3, 4です。3桁の数の各位の数の和が3の倍数になる組み合わせは以下の通りです。

(i) {0, 1, 2}: $2 \times 2 \times 1 = 4$ 個

0を百の位にできないので、百の位の選び方が2通り、十の位の選び方が2通り、一の位の選び方が1通りとなります。

(ii) {0, 2, 4}: $2 \times 2 \times 1 = 4$ 個

(iii) {0, 3}: 使えない

(iv) {1, 2, 3}: $3 \times 2 \times 1 = 6$ 個

(v) {1, 3, 4}: $3 \times 2 \times 1 = 6$ 個

(vi) {2, 3, 4}: $3 \times 2 \times 1 = 6$ 個

合計すると $4 + 4 + 6 + 6 + 6 = 26$ 個の3の倍数があります。

3. 最終的な答え

(1) 偶数の個数: 30個

(2) 3の倍数の個数: 26個