問題は2つあります。 (1) 図で示された理想気体のオットーサイクルの仕事量と熱効率を求める。 (2) 理想気体のエントロピー $S$ を圧力 $P$ と体積 $V$ の関数として表した式 $S(P, V) = nc_v \ln P + nc_p \ln V + C$ を、温度 $T$ と圧力 $P$ の関数として表す式に書き換える。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 図で示された理想気体のオットーサイクルの仕事量と熱効率を求める。

(2) 理想気体のエントロピー $S$ を圧力 $P$ と体積 $V$ の関数として表した式 $S(P, V) = nc_v \ln P + nc_p \ln V + C$ を、温度 $T$ と圧力 $P$ の関数として表す式に書き換える。

2. 解き方の手順

(1) オットーサイクルの仕事量と熱効率を求める。

* サイクルは次の4つの過程で構成されます。

* A→B：断熱膨張

* B→C：定積冷却

* C→D：断熱圧縮

* D→A：定積加熱

* 仕事量は、1サイクルにおける正味の仕事であり、P-V図におけるサイクルで囲まれた領域の面積に相当します。各過程での仕事は次のように計算されます。

* 断熱過程（A→B、C→D）：$W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma} = \frac{nR(T_2-T_1)}{1-\gamma}$ ($\gamma$は比熱比)

* 定積過程（B→C、D→A）：$W = 0$

* したがって、全仕事は、$W = W_{AB} + W_{CD}$です。

* 熱効率は、投入された熱量に対する仕事量の比で定義されます。投入された熱量は、定積加熱過程（D→A）で加えられる熱量です。放出される熱量は、定積冷却過程（B→C）で放出される熱量です。

* 定積過程（D→A）の熱量：$Q_{in} = n c_v (T_A - T_D)$

* 定積過程（B→C）の熱量：$Q_{out} = n c_v (T_B - T_C)$

* 熱効率 $\eta$ は次のように計算されます。

$\eta = \frac{W}{Q_{in}} = \frac{Q_{in} - Q_{out}}{Q_{in}} = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}} = 1 - \frac{T_B - T_C}{T_A - T_D}$

(2) エントロピーの式を書き換える。

* 理想気体の状態方程式は、$PV = nRT$ です。したがって、$V = \frac{nRT}{P}$。

* 与えられたエントロピーの式に代入します。

$S(P, V) = nc_v \ln P + nc_p \ln V + C = nc_v \ln P + nc_p \ln (\frac{nRT}{P}) + C$

$S(T, P) = nc_v \ln P + nc_p \ln (nRT) - nc_p \ln P + C = nc_v \ln P + nc_p (\ln (nR) + \ln T) - nc_p \ln P + C$

$S(T, P) = (nc_v - nc_p) \ln P + nc_p \ln T + nc_p \ln(nR) + C$

* マイヤーの関係式 $c_p - c_v = R$ より、$nc_v - nc_p = -nR$。

* したがって、$S(T, P) = -nR \ln P + nc_p \ln T + nc_p \ln(nR) + C = nc_p \ln T - nR \ln P + C'$ ここで、$C' = nc_p \ln(nR) + C$ は定数。

3. 最終的な答え

(1) オットーサイクルの仕事量：$W = W_{AB} + W_{CD}$

　　オットーサイクルの熱効率：$\eta = 1 - \frac{T_B - T_C}{T_A - T_D}$

(2) エントロピーの式：$S(T, P) = nc_p \ln T - nR \ln P + C'$