与えられた定積分 $\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{3}\sqrt{1-x^2} dx$ を計算し、その結果が $\sqrt{3}\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{1-x^2} dx$ であることを確認する問題です。要するに、定積分 $\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{1-x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{3}\sqrt{1-x^2} dx$ を計算し、その結果が $\sqrt{3}\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{1-x^2} dx$ であることを確認する問題です。要するに、定積分 $\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{1-x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin\theta$ と置換します。すると、$dx = \cos\theta d\theta$ となります。また、積分区間も変換します。

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

$x = 1$ のとき、$\sin\theta = 1$ より、$\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{1-x^2} dx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2\theta} \cos\theta d\theta$

$= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos^2\theta} \cos\theta d\theta = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta$

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を用いて、積分を計算します。

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) d\theta$

$= \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left[ (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin\pi) - (\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3}) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right] = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{8}$

したがって、$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{3}\sqrt{1-x^2} dx = \sqrt{3} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{1-x^2} dx = \sqrt{3} \left( \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right)$

$= \frac{\sqrt{3}\pi}{12} - \frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}\pi}{12} - \frac{3}{8}$