三角形 ABC において、AD = DE = EB、F は辺 BC の中点、EF = 6 である。AF と CD の交点を G とするとき、GC の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、AD = DE = EB、F は辺 BC の中点、EF = 6 である。AF と CD の交点を G とするとき、GC の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、メネラウスの定理を三角形 ABF と直線 CD に適用する。

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BC}{CF} \cdot \frac{FG}{GA} = 1$

問題文より、$AD = DE = EB$ なので、$AD = EB$ であり、$AD:DB = 1:2$ となる。

また、F は BC の中点なので、$BC = 2CF$ より、$BC:CF = 2:1$ となる。

これらを代入すると、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{FG}{GA} = 1$

$\frac{FG}{GA} = 1$

$FG = GA$

したがって、G は線分 AF の中点である。

次に、中点連結定理を用いる。

E, F はそれぞれ AB, BC 上の点であり、EF は三角形 ABC に含まれる。

中点連結定理より、EF と AC は平行である。

また、EF = 6 である。

次に、三角形 CBF において、中線定理を適用する。

点 D, E は AB を三等分するので、DE = EB である。

また、F は BC の中点である。

三角形 ACD において、AG : GF = 1:1 であり、中線定理の逆より、G は AF の中点である。

次に、三角形 EBF と三角形 ABC に着目する。

AD = DE = EB なので、AB = 3EB となる。同様に考えると、BF = FC である。

EF = 6 なので、AC = 3EF = 3 * 6 = 18 。

次に、チェバの定理を三角形 ABC と点 G に適用する。

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

$\frac{AD}{DB} = \frac{1}{2}$, $\frac{BF}{FC} = 1$, $\frac{CE}{EA} = \frac{CE}{AC - CE}$

次に、メネラウスの定理を三角形 BCF と直線 CD に適用することを考える。

このとき、交点はそれぞれ D, G, A である。

したがって、

$\frac{BD}{DE} \times \frac{EG}{GC} \times \frac{CA}{AB}=1$

$\frac{AD}{DE} =1$

ここで、三角形 CDG と三角形 EAG の相似を考える。

$DG : GE = CD : AE$

三角形 BEF と三角形 BAC は相似である。（中点連結定理）

AB = 3EB なので、AE = 2EB とすると、AE/AB = 2/3 となる。

点G は AF 上にあるので、$AG = GF$ であり、AF は中線である。

点G は CD 上にある。

三角形 EF と三角形 DAC は相似である。

AC = 3EF = 18

線分比から、GCを求める。

GC = 2 * EF = 2 * 3 = 6 なので、GC =12。

3. 最終的な答え

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