平面上の定点 $A(\vec{a})$ が与えられたとき、以下のベクトル方程式で表される円の中心の位置ベクトルと半径を求めます。 (1) $|\vec{p} - 3\vec{a}| = 1$ (2) $|\vec{p} + 2\vec{a}| = 2$ (3) $|3\vec{p} + 6\vec{a}| = 12$

1. 問題の内容

平面上の定点 $A(\vec{a})$ が与えられたとき、以下のベクトル方程式で表される円の中心の位置ベクトルと半径を求めます。

(1) $|\vec{p} - 3\vec{a}| = 1$

(2) $|\vec{p} + 2\vec{a}| = 2$

(3) $|3\vec{p} + 6\vec{a}| = 12$

2. 解き方の手順

円のベクトル方程式 $|\vec{p} - \vec{c}| = r$ を考えます。ここで、$\vec{c}$ は円の中心の位置ベクトル、 $r$ は円の半径です。

(1) $|\vec{p} - 3\vec{a}| = 1$

この式は、中心の位置ベクトルが $3\vec{a}$ で、半径が $1$ である円を表します。

(2) $|\vec{p} + 2\vec{a}| = 2$

この式は、$|\vec{p} - (-2\vec{a})| = 2$ と書き換えることができます。

したがって、中心の位置ベクトルは $-2\vec{a}$ で、半径は $2$ である円を表します。

(3) $|3\vec{p} + 6\vec{a}| = 12$

この式は、$|3(\vec{p} + 2\vec{a})| = 12$ と書き換えることができます。

したがって、$3|\vec{p} + 2\vec{a}| = 12$ より、$|\vec{p} + 2\vec{a}| = 4$ となります。

これは、$|\vec{p} - (-2\vec{a})| = 4$ と書き換えることができます。

したがって、中心の位置ベクトルは $-2\vec{a}$ で、半径は $4$ である円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心: $3\vec{a}$, 半径: $1$

(2) 中心: $-2\vec{a}$, 半径: $2$

(3) 中心: $-2\vec{a}$, 半径: $4$