ベクトル$\vec{a} = (1, \sqrt{3})$と$\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$が与えられています。この二つのベクトルのなす角を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル$\vec{a} = (1, \sqrt{3})$と$\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$が与えられています。この二つのベクトルのなす角を求める問題です。

2. 解き方の手順

二つのベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角を$\theta$とすると、内積の定義から以下の式が成り立ちます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$

ここで、$\vec{a} \cdot \vec{b}$は内積、$|\vec{a}|$と$|\vec{b}|$はそれぞれのベクトルの大きさです。

まず、$\vec{a} \cdot \vec{b}$を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})(1) = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

次に、$|\vec{a}|$と$|\vec{b}|$を計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{(1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

これらの値を$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$に代入します。

$2\sqrt{3} = (2)(2) \cos{\theta}$

$2\sqrt{3} = 4 \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす$\theta$は$\theta = \frac{\pi}{6}$ (または30度)です。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{6}$ (または30度)