平行四辺形ABCDにおいて、$AB = \sqrt{3}$、$AD = 5$、$\angle BAD = 30^\circ$のとき、対角線ACの長さを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB = \sqrt{3}$、$AD = 5$、$\angle BAD = 30^\circ$のとき、対角線ACの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、三角形ABDにおいて、対角線ACの長さを求める。

$\triangle ABC$において、$AB=\sqrt{3}$, $BC=5$, $\angle ABC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$であるから、余弦定理により

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos{\angle ABC}$

$AC^2 = (\sqrt{3})^2 + 5^2 - 2(\sqrt{3})(5)\cos{150^\circ}$

$AC^2 = 3 + 25 - 10\sqrt{3} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$AC^2 = 28 + 10 \times \frac{3}{2}$

$AC^2 = 28 + 15$

$AC^2 = 43$

$AC = \sqrt{43}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{43}$