与えられた複数の数について、以下の問いに答えます。 (1) 有理数と無理数に分類する。 (2) 有理数と無理数に分類する。 (3) 小数で表したときに、有限小数、循環小数、循環しない無限小数のどれになるか分類する。 (4) 小数で表したときに、有限小数、循環小数、循環しない無限小数になるものをそれぞれ選ぶ。

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた複数の数について、以下の問いに答えます。

(1) 有理数と無理数に分類する。

(2) 有理数と無理数に分類する。

(3) 小数で表したときに、有限小数、循環小数、循環しない無限小数のどれになるか分類する。

(4) 小数で表したときに、有限小数、循環小数、循環しない無限小数になるものをそれぞれ選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 有理数と無理数の分類

有理数は、分数 $\frac{p}{q}$ (p, q は整数, q ≠ 0) の形で表せる数です。無理数は、そのような分数で表せない数です。特に、$\sqrt{a}$ の形で表される数は、$a$ が平方数でなければ無理数です。

- $\frac{\sqrt{5}}{2}$: $\sqrt{5}$ が無理数なので、$\frac{\sqrt{5}}{2}$ も無理数です。

- $\sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$: 有理数です。

- $-\sqrt{9} = -3$: 有理数です。

- $\sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$: 有理数です。

- $-\sqrt{\frac{81}{25}} = -\frac{9}{5}$: 有理数です。

- $\sqrt{11}$: 無理数です。

- $\sqrt{2}$: 無理数です。

- $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$: 無理数です。

(2) 有理数と無理数の分類

- $\frac{\sqrt{3}}{2}$: $\sqrt{3}$ が無理数なので、$\frac{\sqrt{3}}{2}$ も無理数です。

- $\sqrt{49} = 7$: 有理数です。

- $\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$: 有理数です。

- $0$: 有理数です。

- $\sqrt{7}$: 無理数です。

- $-\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{3}{2}$: 有理数です。

- $-\sqrt{\frac{64}{9}} = -\frac{8}{3}$: 有理数です。

- $\frac{5}{6}$: 有理数です。

- $\pi$: 無理数です。

- $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$: 無理数です。

(3) 小数の分類

- $-\sqrt{\frac{49}{16}} = -\frac{7}{4} = -1.75$: 有限小数です。

- $\sqrt{\frac{25}{121}} = \frac{5}{11} = 0.454545...$: 循環小数です。

- $-\sqrt{7} \approx -2.64575...$: 循環しない無限小数です。

- $1.7\dot{3} = 1.73333...$: 循環小数です。

- $\frac{1}{8} = 0.125$: 有限小数です。

- $-\sqrt{0.49} = -0.7$: 有限小数です。

(4) 小数の分類

- $\pi + 2 \approx 5.14159...$: 循環しない無限小数です。

- $-0.4$: 有限小数です。

- $\sqrt{0.16} = 0.4$: 有限小数です。

- $0.15\dot{4} = 0.15444...$: 循環小数です。

- $\sqrt{\frac{81}{121}} = \frac{9}{11} = 0.818181...$: 循環小数です。

- $-\sqrt{\frac{9}{16}} = -\frac{3}{4} = -0.75$: 有限小数です。

3. 最終的な答え

(1)

- 有理数: $\sqrt{\frac{1}{16}}, -\sqrt{9}, \sqrt{\frac{25}{9}}, -\sqrt{\frac{81}{25}}$

- 無理数: $\frac{\sqrt{5}}{2}, \sqrt{11}, \sqrt{2}, \sqrt{12}$

(2)

- 有理数: $\sqrt{49}, \sqrt{\frac{4}{25}}, 0, -\sqrt{\frac{9}{4}}, -\sqrt{\frac{64}{9}}, \frac{5}{6}$

- 無理数: $\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{7}, \pi, \sqrt{20}$

(3)

- 有限小数: $-\sqrt{\frac{49}{16}}, \frac{1}{8}, -\sqrt{0.49}$

- 循環小数: $\sqrt{\frac{25}{121}}, 1.7\dot{3}$

- 循環しない無限小数: $-\sqrt{7}$

(4)

- 有限小数: $-0.4, \sqrt{0.16}, -\sqrt{\frac{9}{16}}$

- 循環小数: $0.15\dot{4}, \sqrt{\frac{81}{121}}$

- 循環しない無限小数: $\pi + 2$