与えられた命題「ある素数 $x$ について、$x$ は偶数である」の否定を考え、その真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げる。

1. 問題の内容

与えられた命題「ある素数 $x$ について、$x$ は偶数である」の否定を考え、その真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げる。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題の否定を作る。

元の命題は「ある $x$ について $P(x)$ が成り立つ」という形をしているので、その否定は「すべての $x$ について $P(x)$ が成り立たない」という形になる。

したがって、与えられた命題の否定は「すべての素数 $x$ について、$x$ は偶数ではない」となる。

これは「すべての素数 $x$ について、$x$ は奇数である」と言い換えることができる。

次に、この否定の真偽を判定する。

素数とは、1 と自分自身以外に正の約数を持たない自然数のことである。

具体的に素数を小さい順に列挙すると、2, 3, 5, 7, 11, ... となる。

この中で、2 は偶数であり、それ以外の素数はすべて奇数である。

したがって、「すべての素数 $x$ について、$x$ は奇数である」は偽である。

最後に、否定が偽である場合の反例を挙げる。

否定は「すべての素数 $x$ について、$x$ は奇数である」なので、これに対する反例は「ある素数 $x$ について、$x$ は偶数である」を満たす $x$ を見つければ良い。

素数 2 は偶数なので、反例は $x = 2$ となる。

3. 最終的な答え

命題の否定: すべての素数 $x$ について、$x$ は奇数である。

真偽: 偽

反例: $x = 2$