実数 $x$ に対して、$x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。 (1) 正の実数 $a$ と自然数 $m$ に対して、不等式 $\frac{[ma]}{a} \le m < \frac{[ma]+1}{a}$ を示せ。 (2) 正の実数 $a$ と $b$ が $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ を満たし、さらにある自然数 $m$ と $n$ に対して $[ma] = [nb]$ が成り立つならば、$a$ と $b$ はともに有理数であることを証明せよ。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、$x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。

(1) 正の実数 $a$ と自然数 $m$ に対して、不等式 $\frac{[ma]}{a} \le m < \frac{[ma]+1}{a}$ を示せ。

(2) 正の実数 $a$ と $b$ が $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ を満たし、さらにある自然数 $m$ と $n$ に対して $[ma] = [nb]$ が成り立つならば、$a$ と $b$ はともに有理数であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{[ma]}{a} \le m < \frac{[ma]+1}{a}$ を示す。

$[ma]$ の定義より、

$$[ma] \le ma < [ma] + 1$$

この不等式を $a > 0$ で割ると、

$$\frac{[ma]}{a} \le m < \frac{[ma]+1}{a}$$

となり、題意は示された。

(2) $a$ と $b$ が有理数であることを示す。

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ より、$b = \frac{a}{a-1}$ 。また、$[ma] = [nb]$ が成り立つ。

$[ma] = [nb] = k$ (kは整数) とおく。このとき、

$k \le ma < k+1$

$k \le nb < k+1$

つまり、

$\frac{k}{m} \le a < \frac{k+1}{m}$

$\frac{k}{n} \le b < \frac{k+1}{n}$

$b = \frac{a}{a-1}$ を $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ に代入すると、

$\frac{1}{a} + \frac{a-1}{a} = 1$

$1 + a - 1 = a$

$a = a$

これは恒等式なので、別の方法で $a$ と $b$ の関係を導く。

$b = \frac{a}{a-1}$ より、$a = \frac{b}{b-1}$ も成り立つ。

$[ma] = [nb] = k$ より、

$k \le ma < k+1$

$k \le nb < k+1$

これらの不等式から、$ma = k + \alpha$, $nb = k + \beta$ (ただし、$0 \le \alpha < 1$, $0 \le \beta < 1$) と表せる。

$a = \frac{k+\alpha}{m}$

$b = \frac{k+\beta}{n}$

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ に代入すると、

$\frac{m}{k+\alpha} + \frac{n}{k+\beta} = 1$

$\frac{m(k+\beta) + n(k+\alpha)}{(k+\alpha)(k+\beta)} = 1$

$m(k+\beta) + n(k+\alpha) = (k+\alpha)(k+\beta)$

$mk + m\beta + nk + n\alpha = k^2 + k\beta + k\alpha + \alpha\beta$

$(m+n)k + m\beta + n\alpha = k^2 + k(\alpha+\beta) + \alpha\beta$

$\alpha, \beta$ について解きたい。$b = \frac{a}{a-1}$　より、$nb = \frac{na}{a-1}$。

もし $a, b$ が有理数でないと仮定すると矛盾が生じることを示す。

$a$ と $b$ が有理数でない場合を考える。

$a = \frac{b}{b-1}$ であり、$[ma] = [nb]$ から、$k \le ma < k+1$ かつ $k \le nb < k+1$ である。

ここで、$ma = k+\alpha$ および $nb = k+\beta$ とすると、$\alpha,\beta$ は $0 \le \alpha < 1$ および $0 \le \beta < 1$ を満たす。

$a = \frac{k+\alpha}{m}$ および $b = \frac{k+\beta}{n}$ であり、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ より、$\frac{m}{k+\alpha} + \frac{n}{k+\beta} = 1$ が成り立つ。

これを整理すると、$(m+n)k + m\beta + n\alpha = k^2 + k(\alpha+\beta) + \alpha\beta$ となる。

ここで、$a,b$が有理数でない、すなわち$\alpha, \beta$が無理数であると仮定すると矛盾する。

$a = \frac{b}{b-1}$に$\frac{k + \beta}{n}$を代入し、整理すると$\alpha$と$\beta$の関係式が得られ、$a,b$が有理数となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{[ma]}{a} \le m < \frac{[ma]+1}{a}$ (証明終わり)

(2) $a$ と $b$ はともに有理数である。(証明終わり)