問題は、次の2つの命題が偽であることを示す反例をそれぞれ1つ挙げることです。 (1) 無理数と無理数の和は無理数である。 (2) 無理数と無理数の積は無理数である。

1. 問題の内容

問題は、次の2つの命題が偽であることを示す反例をそれぞれ1つ挙げることです。

(1) 無理数と無理数の和は無理数である。

(2) 無理数と無理数の積は無理数である。

2. 解き方の手順

(1) 無理数と無理数の和が無理数であるという命題の反例を探す。

$\sqrt{2}$と$-\sqrt{2}$はどちらも無理数です。

これらの和は、

$\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$

0は有理数なので、$\sqrt{2}$と$-\sqrt{2}$は、無理数と無理数の和が有理数になる例となります。

(2) 無理数と無理数の積が無理数であるという命題の反例を探す。

$\sqrt{2}$と$\sqrt{2}$はどちらも無理数です。

これらの積は、

$\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$

2は有理数なので、$\sqrt{2}$と$\sqrt{2}$は、無理数と無理数の積が有理数になる例となります。

3. 最終的な答え

(1) 反例：$\sqrt{2}$と$-\sqrt{2}$

(2) 反例：$\sqrt{2}$と$\sqrt{2}$