1から順に並べた自然数を、第$n$群が$2^{n-1}$個の数を含むように分ける。 (1) 第$n$群の最初の数を$n$で表せ。 (2) 第$n$群に含まれる数の総和を求めよ。 (3) 3000は第何群の何番目にあるか。

1. 問題の内容

1から順に並べた自然数を、第$n$群が$2^{n-1}$個の数を含むように分ける。

(1) 第$n$群の最初の数を$n$で表せ。

(2) 第$n$群に含まれる数の総和を求めよ。

(3) 3000は第何群の何番目にあるか。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の数を求める。第$n-1$群までの項数の和を求め、それに1を足すと、第$n$群の最初の数になる。

第$k$群の項数は$2^{k-1}$なので、第$n-1$群までの項数の和は、初項1、公比2の等比数列の和で表される。

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\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n-1}-1

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よって、第$n$群の最初の数は$2^{n-1}-1 + 1 = 2^{n-1}$となる。

(2) 第$n$群に含まれる数の総和を求める。第$n$群は、$2^{n-1}$から始まり、$2^{n-1}$個の数を含む。

したがって、第$n$群の最後の数は、$2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$である。

第$n$群の総和は、初項$2^{n-1}$、末項$2^n - 1$、項数$2^{n-1}$の等差数列の和で求められる。

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S_n = \frac{2^{n-1}}{2} (2^{n-1} + 2^n - 1) = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}

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(3) 3000が第何群の何番目にあるかを求める。

まず、第$n$群までの項数の和を考える。

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\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n}-1)}{2-1} = 2^{n}-1

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$2^n - 1 \ge 3000$となる最小の$n$を求める。

$2^n \ge 3001$

$2^{11} = 2048$, $2^{12} = 4096$なので、$n=12$

したがって、3000は第12群にある。

第11群までの項数の和は$2^{11}-1 = 2048-1 = 2047$なので、3000は第12群の$3000 - 2047 = 953$番目にある。

3. 最終的な答え

(1) 第$n$群の最初の数: $2^{n-1}$

(2) 第$n$群に含まれる数の総和: $3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

(3) 3000は第12群の953番目