与えられた問題は、以下の4つの問題から構成されています。 * **問題1**: 2進数 $101101_{(2)}$ を10進数に変換する。 * **問題2**: 216の正の約数の総和を求める。 * **問題3**: 方程式 $xy - 7 = 4x - y$ を満たす自然数 $x, y$ の組について、$x + y$ の値を求める。 * **問題4**: 100以上1000以下の自然数の中で、5で割ると3余り、13で割ると4余る自然数の個数を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の4つの問題から構成されています。

* **問題1**: 2進数 $101101_{(2)}$ を10進数に変換する。

* **問題2**: 216の正の約数の総和を求める。

* **問題3**: 方程式 $xy - 7 = 4x - y$ を満たす自然数 $x, y$ の組について、$x + y$ の値を求める。

* **問題4**: 100以上1000以下の自然数の中で、5で割ると3余り、13で割ると4余る自然数の個数を求める。

2. 解き方の手順

* **問題1**: 2進数 $101101_{(2)}$ を10進数に変換する。

$101101_{(2)} = 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45$

* **問題2**: 216の正の約数の総和を求める。

まず216を素因数分解します。$216 = 2^3 \times 3^3$。

約数の総和は $(1 + 2 + 2^2 + 2^3)(1 + 3 + 3^2 + 3^3) = (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9 + 27) = 15 \times 40 = 600$

* **問題3**: 方程式 $xy - 7 = 4x - y$ を満たす自然数 $x, y$ の組について、$x + y$ の値を求める。

$xy - 7 = 4x - y$ を変形します。

$xy + y = 4x + 7$

$y(x + 1) = 4x + 7$

$y = \frac{4x + 7}{x + 1} = \frac{4(x + 1) + 3}{x + 1} = 4 + \frac{3}{x + 1}$

$x$ と $y$ は自然数なので、$x + 1$ は 3 の約数である必要があります。したがって、$x + 1 = 1$ または $x + 1 = 3$。

$x + 1 = 1$ のとき、$x = 0$ となり、自然数ではないので不適。

$x + 1 = 3$ のとき、$x = 2$。このとき、$y = 4 + \frac{3}{3} = 4 + 1 = 5$。

$x + y = 2 + 5 = 7$

* **問題4**: 100以上1000以下の自然数の中で、5で割ると3余り、13で割ると4余る自然数の個数を求める。

求める自然数を $n$ とすると、

$n \equiv 3 \pmod{5}$

$n \equiv 4 \pmod{13}$

$n = 5k + 3 = 13l + 4$ (k, l は整数)

$5k + 3 = 13l + 4$ より、$5k = 13l + 1$

$5k \equiv 1 \pmod{13}$

$5k \equiv 40 \pmod{13}$ より、$k \equiv 8 \pmod{13}$

$k = 13m + 8$ (m は整数)

$n = 5(13m + 8) + 3 = 65m + 40 + 3 = 65m + 43$

$100 \le 65m + 43 \le 1000$

$57 \le 65m \le 957$

$\frac{57}{65} \le m \le \frac{957}{65}$

$0.87... \le m \le 14.72...$

$m$ は整数なので、$1 \le m \le 14$

$m$ の個数は14個。

3. 最終的な答え

* 問題1: 45

* 問題2: 600

* 問題3: 7

* 問題4: 14