自然数をある規則に従って群に分けます。第$n$群は$2^{n-1}$個の数を含みます。 (1) 第$n$群の最初の数を$n$で表しなさい。 (2) 第$n$群に含まれる数の総和を求めなさい。 (3) 3000は第何群の何番目にあるか。

1. 問題の内容

自然数をある規則に従って群に分けます。第$n$群は$2^{n-1}$個の数を含みます。

(1) 第$n$群の最初の数を$n$で表しなさい。

(2) 第$n$群に含まれる数の総和を求めなさい。

(3) 3000は第何群の何番目にあるか。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の数を求めます。

第$n-1$群までの項数の合計は、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-2} = \frac{1(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、第$n$群の最初の数は$2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1}$となります。

(2) 第$n$群の和を求めます。

第$n$群の最初の数は$2^{n-1}$です。第$n$群は$2^{n-1}$個の数を含んでいるので、第$n$群の最後の数は、$2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$となります。

したがって、第$n$群に含まれる数の総和は、

$\frac{2^{n-1}(2^{n-1} + 2^n - 1)}{2} = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2^n - 1) = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

(3) 3000が第何群の何番目にあるかを求めます。

まず、3000が第何群にあるかを調べます。

$2^{n-1} - 1 < 3000 \le 2^n - 1$となるような$n$を求める必要があります。

$2^{n-1} \le 3000 < 2^n$

$2^{11} = 2048$, $2^{12} = 4096$なので、$n = 12$となります。

したがって、3000は第12群にあります。

第12群の最初の数は、$2^{12-1} = 2^{11} = 2048$です。

3000は第12群の中で何番目かというと、$3000 - 2048 + 1 = 953$番目です。

3. 最終的な答え

(1) 第$n$群の最初の数は$2^{n-1}$

(2) 第$n$群に含まれる数の総和は$3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

(3) 3000は第12群の953番目