分母が9である正の既約分数のうち、100より小さいものの総和を求めよ。

1. 問題の内容

分母が9である正の既約分数のうち、100より小さいものの総和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、分母が9の正の分数で100より小さいものを考える。

$\frac{x}{9} < 100$を満たす正の整数$x$を求める。

$x < 900$なので、$x$は1から899までの整数である。

しかし、既約分数なので、$x$は9と互いに素である必要がある。

$x$が9の倍数である場合、つまり$x=9k$（$k$は整数）のときは既約分数にならない。

$x = 9k$となるのは、$k=1, 2, \dots, 99$のときである。

したがって、既約分数の分子は、$x = 1, 2, \dots, 899$から、$9, 18, 27, \dots, 891$を除いたものである。

まず、分母が9で分子が1から899までの分数の和を求める。

$S_1 = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \dots + \frac{899}{9} = \frac{1}{9}(1 + 2 + \dots + 899)$

等差数列の和の公式を用いると、$1 + 2 + \dots + 899 = \frac{899(899+1)}{2} = \frac{899 \cdot 900}{2} = 899 \cdot 450$

よって、$S_1 = \frac{1}{9}(899 \cdot 450) = 899 \cdot 50 = 44950$

次に、分母が9で分子が9の倍数である分数の和を求める。

$S_2 = \frac{9}{9} + \frac{18}{9} + \dots + \frac{891}{9} = \frac{9}{9}(1 + 2 + \dots + 99) = 1 + 2 + \dots + 99 = \frac{99(99+1)}{2} = \frac{99 \cdot 100}{2} = 99 \cdot 50 = 4950$

求める既約分数の和は、$S_1 - S_2$である。

$S = S_1 - S_2 = 44950 - 4950 = 40000$

しかし、$x$と9が互いに素である条件を満たす$x$に対応する分数の和を直接求めることもできる。

$x$と9が互いに素であるとは、$x$が3の倍数でないことを意味する。

$x$と9が互いに素な整数の個数は、$1 \le x \le 9$について$\phi(9) = 9(1 - \frac{1}{3}) = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$個である。

したがって、$1 \le x \le 899$における、9と互いに素である整数の和を求める。

$900 = 9 \times 100$であるから、$900$までの既約分数の和を求めてから、$\frac{900}{9} = 100$を引けばよい。

$n$以下の整数で$n$と互いに素なものの和は、$\frac{n}{2} \phi(n)$で表される。

求める和は$\sum_{k=1}^{99}\left(\frac{9k-8}{9} + \frac{9k-7}{9} + \frac{9k-5}{9} + \frac{9k-4}{9} + \frac{9k-2}{9} + \frac{9k-1}{9}\right)$

$= \sum_{k=1}^{99}\frac{54k - (8+7+5+4+2+1)}{9} = \sum_{k=1}^{99}\frac{54k - 27}{9} = \sum_{k=1}^{99} (6k-3) = 6\sum_{k=1}^{99} k - 3\sum_{k=1}^{99} 1$

$= 6\frac{99\cdot 100}{2} - 3\cdot 99 = 6\cdot 99 \cdot 50 - 297 = 29700 - 297 = 29403$

上記の解き方が間違っている。もう一度考える。

分母が9の既約分数は、$\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{5}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9}, \frac{10}{9}, \dots$となる。

$100 = \frac{900}{9}$なので、$\frac{x}{9} < \frac{900}{9}$、つまり$x < 900$

$x$は9と互いに素な整数なので、$x$は3の倍数ではない。

$1 \le x \le 899$の範囲で、3の倍数でないものの個数は、$899 - \lfloor\frac{899}{3}\rfloor = 899 - 299 = 600$個である。

したがって、求める和は$\sum_{k=1}^{299} \frac{k}{9} <100$

$x = 3n$の場合を除いた和を計算する。

$S = \frac{1}{9}\sum_{\substack{1 \le k \le 899 \\ k \neq 3n}} k = \frac{1}{9} (\sum_{k=1}^{899} k - \sum_{n=1}^{299} 3n) = \frac{1}{9}(\frac{899 \cdot 900}{2} - 3\frac{299 \cdot 300}{2}) = \frac{1}{9}(899 \cdot 450 - 3 \cdot 299 \cdot 150) = \frac{1}{9}(404550 - 134550) = \frac{270000}{9} = 30000$

$\frac{1}{9} \cdot \frac{899 \cdot 900}{2} - \frac{3}{9} \cdot \frac{299 \cdot 300}{2} = \frac{1}{9} (899 \times 450 - 299 \times 450) = \frac{600}{9} \cdot 450 = 600 \cdot 50 = 30000$

3. 最終的な答え

30000