スーパーの買い物でマイバッグを使用している人の割合を調べたい。母比率を $p$、標本比率を $\hat{p}$、標本の大きさを $n$ で表す。$\hat{p}$ と $p$ の差（許容誤差）が0.01以下になる確率を0.90以上にするために必要な最小の標本サイズ $n$ を、中心極限定理を用いて求める。

1. 問題の内容

スーパーの買い物でマイバッグを使用している人の割合を調べたい。母比率を $p$、標本比率を $\hat{p}$、標本の大きさを $n$ で表す。$\hat{p}$ と $p$ の差（許容誤差）が0.01以下になる確率を0.90以上にするために必要な最小の標本サイズ $n$ を、中心極限定理を用いて求める。

2. 解き方の手順

中心極限定理より、$Z_n = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。

$\hat{p}$ と $p$ の差の絶対値が0.01以下になる確率が0.90以上であるということは、以下のように書ける。

$P(|\hat{p} - p| \le 0.01) \ge 0.90$

これを標準正規分布で書き換えると、

$P\left( \left| \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \right| \le \frac{0.01}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \right) \ge 0.90$

$P\left( |Z_n| \le \frac{0.01\sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}} \right) \ge 0.90$

ここで、$P(|Z| \le z) = 0.90$ となる $z$ を求める。これは、$P(Z \le z) - P(Z \le -z) = 0.90$ と同じ意味であり、$P(Z \le z) - (1 - P(Z \le z)) = 0.90$ から、$2P(Z \le z) - 1 = 0.90$、$P(Z \le z) = 0.95$ となる $z$ を求めることになる。

$P(Z > z) = 1 - P(Z \le z) = 0.05$ となる $z$ を探すと、$P(Z > 1.64) = 0.05$ より、$z = 1.64$ が得られる。

したがって、

$\frac{0.01\sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}} \ge 1.64$

$n \ge (1.64)^2 \frac{p(1-p)}{(0.01)^2}$

$p(1-p)$ は $p=0.5$ のとき最大値 $0.25$ をとるため、 $p(1-p) \le 0.25$ となる。

$n \ge (1.64)^2 \frac{0.25}{(0.01)^2} = (1.64)^2 \times 2500 = 2.6896 \times 2500 = 6724$

3. 最終的な答え

少なくとも必要な標本の大きさは6724である。

答え: ④