あるクラスで100点満点の試験を行ったところ、平均点は75点、分散は144であった。生徒全員の得点を $\frac{2}{3}$ 倍して、さらに10点を加えたときの標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

あるクラスで100点満点の試験を行ったところ、平均点は75点、分散は144であった。生徒全員の得点を $\frac{2}{3}$ 倍して、さらに10点を加えたときの標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、分散の定義を確認します。分散は標準偏差の二乗です。

元の得点の分散が144なので、標準偏差は $\sqrt{144} = 12$ です。

次に、得点を $\frac{2}{3}$ 倍した場合の分散を考えます。得点を定数倍した場合、分散は定数の二乗倍になります。したがって、$\frac{2}{3}$ 倍した場合の分散は $(\frac{2}{3})^2 \times 144$ になります。

分散を計算すると、$\frac{4}{9} \times 144 = 4 \times 16 = 64$ となります。

さらに、10点を加える操作は、データの散らばり具合には影響を与えないため、分散は変化しません。

したがって、最終的な分散は64です。

標準偏差は分散の平方根なので、$\sqrt{64} = 8$ となります。

3. 最終的な答え

8