白玉2つと赤玉5つが入っている袋から1個の玉を取り出し、色を調べてから袋に戻す操作を40回繰り返す。白玉を取り出す回数 $X$ は二項分布 $B(n, p)$ に従う。 (1) $n$ と $p$ を求める。 (2) $E(X)$, $V(X)$, $\sigma(X)$ を求める。

1. 問題の内容

白玉2つと赤玉5つが入っている袋から1個の玉を取り出し、色を調べてから袋に戻す操作を40回繰り返す。白玉を取り出す回数 $X$ は二項分布 $B(n, p)$ に従う。

(1) $n$ と $p$ を求める。

(2) $E(X)$, $V(X)$, $\sigma(X)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

袋には白玉が2つ、赤玉が5つ入っているので、玉の総数は7つ。

1回の試行で白玉を取り出す確率は $p = \frac{2}{7}$。

試行回数は $n = 40$。

よって、$X$ は二項分布 $B(40, \frac{2}{7})$ に従う。

(2)

二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ について、期待値 $E(X)$, 分散 $V(X)$, 標準偏差 $\sigma(X)$ はそれぞれ以下の式で計算できる。

$E(X) = np$

$V(X) = np(1-p)$

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{np(1-p)}$

$E(X) = 40 \times \frac{2}{7} = \frac{80}{7}$

$V(X) = 40 \times \frac{2}{7} \times (1 - \frac{2}{7}) = 40 \times \frac{2}{7} \times \frac{5}{7} = \frac{400}{49}$

$\sigma(X) = \sqrt{\frac{400}{49}} = \frac{\sqrt{400}}{\sqrt{49}} = \frac{20}{7}$

3. 最終的な答え

(1) 二項分布 $B(\boxed{40}, \frac{\boxed{2}}{\boxed{7}})$

(2)

$E(X) = \frac{\boxed{80}}{\boxed{7}}$

$V(X) = \frac{\boxed{400}}{\boxed{49}}$

$\sigma(X) = \frac{\boxed{20}}{\boxed{7}}$