大文字A, B, C, D, E の5文字と小文字 a, b, c, d の4文字を1列に並べる場合の数について、以下の条件を満たす並べ方の総数を求める。 (1) 大文字が隣り合う (2) 両端が小文字である (3) 小文字が隣り合わない (4) 小文字のうち2文字だけ隣り合う

1. 問題の内容

大文字A, B, C, D, E の5文字と小文字 a, b, c, d の4文字を1列に並べる場合の数について、以下の条件を満たす並べ方の総数を求める。

(1) 大文字が隣り合う

(2) 両端が小文字である

(3) 小文字が隣り合わない

(4) 小文字のうち2文字だけ隣り合う

2. 解き方の手順

(1) 大文字が隣り合う場合：

大文字5文字をひとまとめにして1つの文字と考える。すると、合計5個の文字（大文字の塊1個と小文字4個）を並べることになる。

これらの並べ方は $5!$ 通り。

さらに、大文字の塊の中での並び順は $5!$ 通り。

したがって、求める並べ方は $5! \times 5!$ 通り。

(2) 両端が小文字である場合：

両端に小文字を並べる方法は ${}_4P_2 = 4 \times 3 = 12$ 通り。

残りの7文字（大文字5個と小文字2個）を並べる方法は $7!$ 通り。

したがって、求める並べ方は $12 \times 7!$ 通り。

(3) 小文字が隣り合わない場合：

まず、大文字5文字を並べる。これは $5!$ 通り。

_A_B_C_D_E_

上記のように、大文字の間にできる6つのスペースに、小文字4文字を並べる。

この並べ方は ${}_6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ 通り。

したがって、求める並べ方は $5! \times {}_6P_4$ 通り。

(4) 小文字のうち2文字だけ隣り合う場合：

まず、隣り合う2つの小文字のペアを選ぶ。これは ${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

選んだ2文字をひとまとめにして1つの文字と考える。すると、小文字は合計3個（ペア1個と残りの小文字2個）になる。

次に、小文字のペアと残りの小文字2個が隣り合わないように並べる。

小文字のペアをX、残りの小文字をそれぞれY, Zとすると、まず大文字5個を並べる。これは $5!$ 通り。

_A_B_C_D_E_

上記のスペースに、小文字X, Y, Zを並べる。

X,Y,Zを並べる組み合わせは${}_6P_3 = 6*5*4 = 120$通り

次にペアになった小文字の順番を考える。これは$2! = 2$通り。

したがって、$5! \times {}_6P_3 \times {}_4C_2 \times 2! = 120 \times 120 \times 6 \times 2 = 172800$

3. 最終的な答え

(1) $5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$ 通り

(2) $12 \times 7! = 12 \times 5040 = 60480$ 通り

(3) $5! \times {}_6P_4 = 120 \times 360 = 43200$ 通り

(4) $5! \times {}_6P_3 \times {}_4C_2 \times 2! = 120 \times 120 \times 6 \times 2 = 172800$ 通り