袋の中に赤玉4個、青玉3個、白玉2個が入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、以下の確率を求める。 (1) 取り出した玉にすべての色が含まれる確率 (2) 取り出した玉の色が2色である確率 (3) 取り出した玉の色が2色であるとき、それが赤色と青色である条件付き確率

1. 問題の内容

袋の中に赤玉4個、青玉3個、白玉2個が入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、以下の確率を求める。

(1) 取り出した玉にすべての色が含まれる確率

(2) 取り出した玉の色が2色である確率

(3) 取り出した玉の色が2色であるとき、それが赤色と青色である条件付き確率

2. 解き方の手順

まず、3個の玉を取り出す場合の総数を計算する。これは、9個から3個を選ぶ組み合わせなので、

$_{9}C_{3} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ 通り。

(1) 取り出した玉にすべての色が含まれる確率は、赤玉、青玉、白玉をそれぞれ1個ずつ取り出す確率である。

赤玉1個、青玉1個、白玉1個を取り出す組み合わせは、

$_{4}C_{1} \times _{3}C_{1} \times _{2}C_{1} = 4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り。

したがって、確率は $\frac{24}{84} = \frac{2}{7}$。

(2) 取り出した玉の色が2色である確率は、以下の3つの場合に分けて考える。

(a) 赤玉と青玉の場合: (赤2個、青1個) または (赤1個、青2個)

(b) 赤玉と白玉の場合: (赤2個、白1個) または (赤1個、白2個)

(c) 青玉と白玉の場合: (青2個、白1個) または (青1個、白2個)

(a) 赤玉と青玉の場合：

(赤2個、青1個)の組み合わせは $_{4}C_{2} \times _{3}C_{1} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 3 = 6 \times 3 = 18$ 通り

(赤1個、青2個)の組み合わせは $_{4}C_{1} \times _{3}C_{2} = 4 \times \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 4 \times 3 = 12$ 通り

合計 $18 + 12 = 30$ 通り

(b) 赤玉と白玉の場合：

(赤2個、白1個)の組み合わせは $_{4}C_{2} \times _{2}C_{1} = 6 \times 2 = 12$ 通り

(赤1個、白2個)の組み合わせは $_{4}C_{1} \times _{2}C_{2} = 4 \times 1 = 4$ 通り

合計 $12 + 4 = 16$ 通り

(c) 青玉と白玉の場合：

(青2個、白1個)の組み合わせは $_{3}C_{2} \times _{2}C_{1} = 3 \times 2 = 6$ 通り

(青1個、白2個)の組み合わせは $_{3}C_{1} \times _{2}C_{2} = 3 \times 1 = 3$ 通り

合計 $6 + 3 = 9$ 通り

したがって、2色である組み合わせは $30 + 16 + 9 = 55$ 通り。

確率は $\frac{55}{84}$。

(3) 取り出した玉の色が2色であるとき、それが赤色と青色である条件付き確率は、2色である確率のうち、赤色と青色である確率の割合を求める。

(2)で計算したように、2色である組み合わせは55通りで、そのうち赤色と青色である組み合わせは30通り。

したがって、条件付き確率は $\frac{30}{55} = \frac{6}{11}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{7}$

(2) $\frac{55}{84}$

(3) $\frac{6}{11}$