男子4人、女子3人が円形のテーブルの周りに座る。 (1) 座り方は全部で何通りあるか。 (2) 女子3人が隣り合う場合は何通りあるか。 (3) 女子が隣り合わない場合は何通りあるか。

1. 問題の内容

男子4人、女子3人が円形のテーブルの周りに座る。

(1) 座り方は全部で何通りあるか。

(2) 女子3人が隣り合う場合は何通りあるか。

(3) 女子が隣り合わない場合は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全体の座り方

合計7人が円卓に座るので、円順列の公式を用いる。

円順列の総数は $(n-1)!$ である。

したがって、全体の座り方は $(7-1)! = 6!$ 通り。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

(2) 女子3人が隣り合う場合

まず、女子3人を1つのグループとして考える。すると、男子4人と合わせて5つのグループになる。

これらの5つのグループの円順列は $(5-1)! = 4!$ 通り。

次に、女子3人のグループ内での並び方は $3!$ 通り。

したがって、女子3人が隣り合う場合の数は $4! \times 3!$ 通り。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$4! \times 3! = 24 \times 6 = 144$

(3) 女子が隣り合わない場合

まず、男子4人を円卓に座らせる。その座り方は $(4-1)! = 3!$ 通り。

次に、男子の間に女子が座る場所が4つできる。この4つの場所から3つを選んで女子を座らせる。

場所の選び方は $_4P_3$ 通り。

女子3人の並び方は $3!$ 通り。

したがって、女子が隣り合わない場合の数は $3! \times _4P_3$ 通り。

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$_4P_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$

$6 \times 24 = 144$

3. 最終的な答え

(1) 720通り

(2) 144通り

(3) 144通り