与えられた5つのデータ点に対して、変数1と変数2の共分散、変数1と変数2の相関係数、変数1と変数3の相関係数、変数2と変数3の相関係数をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

与えられた5つのデータ点に対して、変数1と変数2の共分散、変数1と変数2の相関係数、変数1と変数3の相関係数、変数2と変数3の相関係数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、各変数の平均を計算する。

次に、共分散と相関係数を計算する。

(1) 変数1と変数2の共分散

変数1のデータ: $x = [85, 75, 60, 54, 28]$

変数2のデータ: $y = [93, 75, 55, 36, 40]$

変数1の平均: $\bar{x} = \frac{85+75+60+54+28}{5} = \frac{302}{5} = 60.4$

変数2の平均: $\bar{y} = \frac{93+75+55+36+40}{5} = \frac{299}{5} = 59.8$

共分散:

$Cov(x, y) = \frac{\sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{5}$

$Cov(x, y) = \frac{(85-60.4)(93-59.8)+(75-60.4)(75-59.8)+(60-60.4)(55-59.8)+(54-60.4)(36-59.8)+(28-60.4)(40-59.8)}{5}$

$Cov(x, y) = \frac{(24.6)(33.2)+(14.6)(15.2)+(-0.4)(-4.8)+(-6.4)(-23.8)+(-32.4)(-19.8)}{5}$

$Cov(x, y) = \frac{816.72+221.92+1.92+152.32+641.52}{5}$

$Cov(x, y) = \frac{1834.4}{5} = 366.88$

(2) 変数1と変数2の相関係数

変数1の標準偏差:

$s_x = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})^2}{5}}$

$s_x = \sqrt{\frac{(85-60.4)^2+(75-60.4)^2+(60-60.4)^2+(54-60.4)^2+(28-60.4)^2}{5}}$

$s_x = \sqrt{\frac{605.16+213.16+0.16+40.96+1049.76}{5}} = \sqrt{\frac{1909.2}{5}} = \sqrt{381.84} \approx 19.54$

変数2の標準偏差:

$s_y = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{5} (y_i - \bar{y})^2}{5}}$

$s_y = \sqrt{\frac{(93-59.8)^2+(75-59.8)^2+(55-59.8)^2+(36-59.8)^2+(40-59.8)^2}{5}}$

$s_y = \sqrt{\frac{1102.24+231.04+23.04+566.44+392.04}{5}} = \sqrt{\frac{2314.9}{5}} = \sqrt{462.98} \approx 21.52$

相関係数:

$r_{xy} = \frac{Cov(x, y)}{s_x s_y} = \frac{366.88}{19.54 * 21.52} = \frac{366.88}{420.50} \approx 0.87$

(3) 変数1と変数3の相関係数

変数3のデータ: $z = [10, 25, 29, 40, 49]$

変数3の平均: $\bar{z} = \frac{10+25+29+40+49}{5} = \frac{153}{5} = 30.6$

$Cov(x, z) = \frac{\sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})(z_i - \bar{z})}{5}$

$Cov(x, z) = \frac{(85-60.4)(10-30.6)+(75-60.4)(25-30.6)+(60-60.4)(29-30.6)+(54-60.4)(40-30.6)+(28-60.4)(49-30.6)}{5}$

$Cov(x, z) = \frac{(24.6)(-20.6)+(14.6)(-5.6)+(-0.4)(-1.6)+(-6.4)(9.4)+(-32.4)(18.4)}{5}$

$Cov(x, z) = \frac{-506.76-81.76+0.64-60.16-596.16}{5}$

$Cov(x, z) = \frac{-1244.2}{5} = -248.84$

変数3の標準偏差:

$s_z = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{5} (z_i - \bar{z})^2}{5}}$

$s_z = \sqrt{\frac{(10-30.6)^2+(25-30.6)^2+(29-30.6)^2+(40-30.6)^2+(49-30.6)^2}{5}}$

$s_z = \sqrt{\frac{424.36+31.36+2.56+88.36+338.76}{5}} = \sqrt{\frac{885.3}{5}} = \sqrt{177.06} \approx 13.31$

相関係数:

$r_{xz} = \frac{Cov(x, z)}{s_x s_z} = \frac{-248.84}{19.54 * 13.31} = \frac{-248.84}{260.08} \approx -0.96$

(4) 変数2と変数3の相関係数

$Cov(y, z) = \frac{\sum_{i=1}^{5} (y_i - \bar{y})(z_i - \bar{z})}{5}$

$Cov(y, z) = \frac{(93-59.8)(10-30.6)+(75-59.8)(25-30.6)+(55-59.8)(29-30.6)+(36-59.8)(40-30.6)+(40-59.8)(49-30.6)}{5}$

$Cov(y, z) = \frac{(33.2)(-20.6)+(15.2)(-5.6)+(-4.8)(-1.6)+(-23.8)(9.4)+(-19.8)(18.4)}{5}$

$Cov(y, z) = \frac{-683.92-85.12+7.68-223.72-364.32}{5}$

$Cov(y, z) = \frac{-1349.4}{5} = -269.88$

相関係数:

$r_{yz} = \frac{Cov(y, z)}{s_y s_z} = \frac{-269.88}{21.52 * 13.31} = \frac{-269.88}{286.43} \approx -0.94$

3. 最終的な答え

(1) 変数1と変数2の共分散: 366.88

(2) 変数1と変数2の相関係数: 0.87

(3) 変数1と変数3の相関係数: -0.96

(4) 変数2と変数3の相関係数: -0.94