8人を指定された人数でいくつかのグループに分ける場合の数を計算する問題です。 (1) 8人をA, B, C, Dの4つの組に、2人ずつ分ける場合の数を求める。 (2) 8人を2人ずつの4つの組に分ける場合の数を求める。 (3) 8人を3人、3人、2人の3つの組に分ける場合の数を求める。

1. 問題の内容

8人を指定された人数でいくつかのグループに分ける場合の数を計算する問題です。

(1) 8人をA, B, C, Dの4つの組に、2人ずつ分ける場合の数を求める。

(2) 8人を2人ずつの4つの組に分ける場合の数を求める。

(3) 8人を3人、3人、2人の3つの組に分ける場合の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) A, B, C, Dの4つの組に2人ずつ分ける場合

まず、Aの組に入れる2人を選ぶ場合の数は ${8 \choose 2}$ 通り。

次に、残りの6人からBの組に入れる2人を選ぶ場合の数は ${6 \choose 2}$ 通り。

次に、残りの4人からCの組に入れる2人を選ぶ場合の数は ${4 \choose 2}$ 通り。

最後に、残りの2人からDの組に入れる2人を選ぶ場合の数は ${2 \choose 2}$ 通り。

したがって、求める場合の数は

${8 \choose 2} \times {6 \choose 2} \times {4 \choose 2} \times {2 \choose 2}$

${8 \choose 2} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

${6 \choose 2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

${4 \choose 2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

${2 \choose 2} = \frac{2!}{2!0!} = 1$

$28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$

(2) 2人ずつの4つの組に分ける場合

(1)と同様に考えると、${8 \choose 2} \times {6 \choose 2} \times {4 \choose 2} \times {2 \choose 2}$ で組分けができる。

ただし、組に区別がないので、4つの組の並び順を考慮する必要がない。

4つの組の並び方は4!通りなので、同じ分け方が4!回数えられている。したがって、4!で割る必要がある。

$\frac{{8 \choose 2} \times {6 \choose 2} \times {4 \choose 2} \times {2 \choose 2}}{4!} = \frac{2520}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{2520}{24} = 105$

(3) 3人、3人、2人の3つの組に分ける場合

まず、8人から3人を選ぶ場合の数は ${8 \choose 3}$ 通り。

次に、残りの5人から3人を選ぶ場合の数は ${5 \choose 3}$ 通り。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ場合の数は ${2 \choose 2}$ 通り。

3人の組が2つあるので、組の区別をなくすために2!で割る必要がある。

$\frac{{8 \choose 3} \times {5 \choose 3} \times {2 \choose 2}}{2!}$

${8 \choose 3} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

${5 \choose 3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

${2 \choose 2} = 1$

$\frac{56 \times 10 \times 1}{2} = \frac{560}{2} = 280$

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 105通り

(3) 280通り