1と書かれたカードが4枚、2と書かれたカードが3枚、3と書かれたカードが2枚、4と書かれたカードが1枚、合計10枚のカードがある。この中から無作為に1枚カードを取り出し、取り出したカードに書かれた数をXとするとき、Xの期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。

1. 問題の内容

1と書かれたカードが4枚、2と書かれたカードが3枚、3と書かれたカードが2枚、4と書かれたカードが1枚、合計10枚のカードがある。この中から無作為に1枚カードを取り出し、取り出したカードに書かれた数をXとするとき、Xの期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、確率変数Xの取りうる値とその確率を求めます。

Xは1, 2, 3, 4のいずれかの値をとります。

それぞれの確率を計算します。

$P(X=1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$P(X=2) = \frac{3}{10}$

$P(X=3) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$P(X=4) = \frac{1}{10}$

次に、期待値 $E(X)$ を計算します。

$E(X) = \sum_{i=1}^{4} x_i P(X=x_i)$

$E(X) = 1 \cdot \frac{2}{5} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{10}$

$E(X) = \frac{2}{5} + \frac{6}{10} + \frac{3}{5} + \frac{4}{10}$

$E(X) = \frac{4}{10} + \frac{6}{10} + \frac{6}{10} + \frac{4}{10} = \frac{20}{10} = 2$

続いて、 $E(X^2)$ を計算します。

$E(X^2) = \sum_{i=1}^{4} x_i^2 P(X=x_i)$

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{2}{5} + 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 3^2 \cdot \frac{1}{5} + 4^2 \cdot \frac{1}{10}$

$E(X^2) = \frac{2}{5} + \frac{12}{10} + \frac{9}{5} + \frac{16}{10}$

$E(X^2) = \frac{4}{10} + \frac{12}{10} + \frac{18}{10} + \frac{16}{10} = \frac{50}{10} = 5$

最後に、分散 $V(X)$ を計算します。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

$V(X) = 5 - 2^2 = 5 - 4 = 1$

3. 最終的な答え

$E(X) = 2$

$V(X) = 1$