大小中3個のサイコロを投げるとき、以下の条件を満たす場合はそれぞれ何通りあるか。 (1) 目がすべて異なる (2) 少なくとも2個が同じ目 (3) 目の積が3の倍数 (4) 目の和が奇数

1. 問題の内容

大小中3個のサイコロを投げるとき、以下の条件を満たす場合はそれぞれ何通りあるか。

(1) 目がすべて異なる

(2) 少なくとも2個が同じ目

(3) 目の積が3の倍数

(4) 目の和が奇数

2. 解き方の手順

(1) 目がすべて異なる場合

大きいサイコロの目は6通り、中のサイコロの目は大きいサイコロと異なる5通り、小さいサイコロの目は大きいサイコロと中のサイコロと異なる4通り。よって、目の出方は$6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

(2) 少なくとも2個が同じ目の場合

3個のサイコロの目の出方の総数は、$6 \times 6 \times 6 = 216$通り。

すべての目が異なる場合は(1)より120通り。

よって、少なくとも2個が同じ目である場合は、$216 - 120 = 96$ 通り。

(3) 目の積が3の倍数

目の積が3の倍数にならないのは、3つのサイコロの目がすべて3の倍数でない場合である。3の倍数でない目は1, 2, 4, 5の4種類なので、3つのサイコロの目がすべて3の倍数でない場合の数は、$4 \times 4 \times 4 = 64$ 通り。

よって、目の積が3の倍数である場合は、$216 - 64 = 152$ 通り。

(4) 目の和が奇数

3つの目の和が奇数になるのは、

(i) 3つとも奇数の場合

(ii) 奇数が1つで、偶数が2つの場合。

(i)の場合、奇数の目は1, 3, 5の3種類なので、$3 \times 3 \times 3 = 27$ 通り。

(ii)の場合、奇数の目の選び方は3通り。どのサイコロの目が奇数であるかの選び方は3通り。偶数の目の選び方は3通りなので、$3 \times 3 \times 3 \times 3= 81$ 通り。

よって、目の和が奇数になる場合は、$27 + 81 = 108$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 96通り

(3) 152通り

(4) 108通り