平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の母集団から無作為に抽出した $n$ 個の標本 $X_1, \dots, X_n$ があるとき、標本平均 $\overline{X}$ を $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ とする。 (1) $E[\overline{X}]$ を求めよ。 (2) $V[\overline{X}]$ を求めよ。 (3) $\overline{X}$ はどのような分布に従うか説明せよ。

1. 問題の内容

平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の母集団から無作為に抽出した $n$ 個の標本 $X_1, \dots, X_n$ があるとき、標本平均 $\overline{X}$ を $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ とする。

(1) $E[\overline{X}]$ を求めよ。

(2) $V[\overline{X}]$ を求めよ。

(3) $\overline{X}$ はどのような分布に従うか説明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $E[\overline{X}]$ を求める。期待値の線形性より、

$E[\overline{X}] = E[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E[X_i]$.

各 $X_i$ は母集団から無作為に抽出されているため、$E[X_i] = \mu$ である。したがって、

$E[\overline{X}] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mu = \frac{1}{n} (n\mu) = \mu$.

(2) $V[\overline{X}]$ を求める。分散の性質より、

$V[\overline{X}] = V[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i] = \frac{1}{n^2} V[\sum_{i=1}^{n} X_i]$.

各 $X_i$ は独立であるため、$V[\sum_{i=1}^{n} X_i] = \sum_{i=1}^{n} V[X_i]$ である。

各 $X_i$ は母集団から無作為に抽出されているため、$V[X_i] = \sigma^2$ である。したがって、

$V[\sum_{i=1}^{n} X_i] = \sum_{i=1}^{n} \sigma^2 = n\sigma^2$.

よって、

$V[\overline{X}] = \frac{1}{n^2} (n\sigma^2) = \frac{\sigma^2}{n}$.

(3) $\overline{X}$ の分布を説明する。

母集団の分布が正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う場合、標本平均 $\overline{X}$ も正規分布に従い、

$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$.

母集団の分布が正規分布でない場合でも、$n$ が十分に大きいとき、中心極限定理により、$\overline{X}$ は近似的に正規分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$ に従う。

3. 最終的な答え

(1) $E[\overline{X}] = \mu$

(2) $V[\overline{X}] = \frac{\sigma^2}{n}$

(3) 母集団が正規分布に従う場合、$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。母集団が正規分布でない場合でも、$n$ が大きいとき、中心極限定理により、$\overline{X}$ は近似的に正規分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$ に従う。