確率変数 $X$ が、確率 $p$ で 1 をとり、確率 $1-p$ で 0 をとるとします。ただし、$0 \le p \le 1$ です。 (1) $X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を計算してください。 (2) $X$ の確率関数 $p(x) = P(X = x)$ を示してください。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が、確率 $p$ で 1 をとり、確率 $1-p$ で 0 をとるとします。ただし、$0 \le p \le 1$ です。

(1) $X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を計算してください。

(2) $X$ の確率関数 $p(x) = P(X = x)$ を示してください。

2. 解き方の手順

(1) 期待値 $E[X]$ は、確率変数の値とその確率の積の和として計算できます。

$E[X] = 1 \cdot P(X=1) + 0 \cdot P(X=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p$

分散 $V[X]$ は、 $E[X^2] - (E[X])^2$ で計算できます。

まず、$E[X^2]$ を計算します。

$E[X^2] = 1^2 \cdot P(X=1) + 0^2 \cdot P(X=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p$

したがって、$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)$

(2) 確率関数 $p(x) = P(X = x)$ は、確率変数 $X$ が特定の値 $x$ をとる確率を表します。

$X$ は 0 または 1 の値しかとらないため、確率関数は次のようになります。

$p(x) = P(X=x) = \begin{cases} 1-p, & x=0 \\ p, & x=1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

3. 最終的な答え

(1)

$E[X] = p$

$V[X] = p(1-p)$

(2)

$p(x) = P(X=x) = \begin{cases} 1-p, & x=0 \\ p, & x=1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$