確率変数 $X$ は、確率 $p$ で $1$ をとり、確率 $1-p$ で $0$ をとる。ただし、$0 \le p \le 1$ である。このとき、以下の問いに答える。 (1) $X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を計算せよ。 (2) $X$ の確率関数 $p(x) = P(X=x)$ を示せ。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ は、確率 $p$ で $1$ をとり、確率 $1-p$ で $0$ をとる。ただし、$0 \le p \le 1$ である。このとき、以下の問いに答える。

(1) $X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を計算せよ。

(2) $X$ の確率関数 $p(x) = P(X=x)$ を示せ。

2. 解き方の手順

(1) 期待値 $E[X]$ は、確率変数の値と確率の積の総和で求められる。

分散 $V[X]$ は、$E[X^2] - (E[X])^2$ で求められる。

期待値 $E[X]$ の計算:

$E[X] = 1 \cdot P(X=1) + 0 \cdot P(X=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p$

$E[X^2]$ の計算:

$E[X^2] = 1^2 \cdot P(X=1) + 0^2 \cdot P(X=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p$

分散 $V[X]$ の計算:

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)$

(2) 確率関数 $p(x)$ は、確率変数 $X$ が特定の値 $x$ をとる確率を表す。

$X$ は $0$ か $1$ の値しかとらないため、

$p(x) = P(X=x)$ は、以下のようになる。

$p(x) = \begin{cases} 1-p & x=0 \\ p & x=1 \\ 0 & otherwise \end{cases}$

3. 最終的な答え

(1) $E[X] = p$

$V[X] = p(1-p)$

(2) $p(x) = \begin{cases} 1-p & x=0 \\ p & x=1 \\ 0 & otherwise \end{cases}$