大小中3個のサイコロを投げたとき、以下の条件を満たす場合の数をそれぞれ求めます。 (1) 目がすべて異なる (2) 少なくとも2個が同じ目 (3) 目の積が3の倍数 (4) 目の和が奇数

1. 問題の内容

大小中3個のサイコロを投げたとき、以下の条件を満たす場合の数をそれぞれ求めます。

(1) 目がすべて異なる

(2) 少なくとも2個が同じ目

(3) 目の積が3の倍数

(4) 目の和が奇数

2. 解き方の手順

(1) 目がすべて異なる場合

3個のサイコロの目がすべて異なる場合、大きいサイコロの目は6通り、中のサイコロの目は大きいサイコロの目以外の5通り、小さいサイコロの目は大きい、中のサイコロの目以外の4通りです。したがって、

$6 \times 5 \times 4 = 120$

3個のサイコロには区別があるので、これで終わりです。

(2) 少なくとも2個が同じ目の場合

全ての出方は $6^3 = 216$ 通りです。

「少なくとも2個が同じ目」の反対は「すべて異なる」であり、(1)で120通りと計算しました。

したがって、少なくとも2個が同じ目の場合の数は、

$216 - 120 = 96$通りです。

(3) 目の積が3の倍数

目の積が3の倍数にならない場合は、3つのサイコロの目がすべて3の倍数でない場合です。

3の倍数でない目は、1, 2, 4, 5の4つです。

したがって、3つとも3の倍数でない場合の数は $4^3 = 64$ 通りです。

目の出方は全部で $6^3 = 216$ 通りなので、目の積が3の倍数になる場合の数は、

$216 - 64 = 152$ 通りです。

(4) 目の和が奇数

3つのサイコロの目の和が奇数になるのは、

(a) 3つとも奇数の場合

(b) 奇数が1つ、偶数が2つの場合

です。

(a) 3つとも奇数の場合

奇数の目は1, 3, 5の3つなので、$3 \times 3 \times 3 = 27$通りです。

(b) 奇数が1つ、偶数が2つの場合

奇数の目の選び方は3通り、偶数の目の選び方も3通りです。

奇数の目がどのサイコロになるかの選び方が3通りなので、

$3 \times 3 \times 3 = 27$通りです。

したがって、目の和が奇数になる場合の数は、

$27 + 27 = 54$通りです。

または、奇数が出る確率と偶数が出る確率はそれぞれ$1/2$であることから、$6^3 / 2 = 108$ と計算できる。

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 96通り

(3) 152通り

(4) 108通り