1から4までの数字が書かれたカードが合計10枚あります。1が4枚、2が3枚、3が2枚、4が1枚です。この中からランダムに1枚を選び、そのカードに書かれた数をXとします。Xの期待値E(X)、X^2の期待値E(X^2)、分散V(X)、および√V(X)を求める問題です。

1. 問題の内容

1から4までの数字が書かれたカードが合計10枚あります。1が4枚、2が3枚、3が2枚、4が1枚です。この中からランダムに1枚を選び、そのカードに書かれた数をXとします。Xの期待値E(X)、X^2の期待値E(X^2)、分散V(X)、および√V(X)を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、確率変数Xが各値を取る確率を求めます。

- X = 1 となる確率: $P(X=1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

- X = 2 となる確率: $P(X=2) = \frac{3}{10}$

- X = 3 となる確率: $P(X=3) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

- X = 4 となる確率: $P(X=4) = \frac{1}{10}$

次に、期待値E(X)を計算します。

$E(X) = \sum_{i=1}^{4} i \cdot P(X=i) = 1 \cdot \frac{2}{5} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{6}{10} + \frac{6}{10} + \frac{4}{10} = \frac{20}{10} = 2$

次に、E(X^2)を計算します。

$E(X^2) = \sum_{i=1}^{4} i^2 \cdot P(X=i) = 1^2 \cdot \frac{2}{5} + 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 3^2 \cdot \frac{1}{5} + 4^2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{2}{5} + \frac{12}{10} + \frac{9}{5} + \frac{16}{10} = \frac{4}{10} + \frac{12}{10} + \frac{18}{10} + \frac{16}{10} = \frac{50}{10} = 5$

次に、分散V(X)を計算します。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 5 - 2^2 = 5 - 4 = 1$

最後に、√V(X)を計算します。

$\sqrt{V(X)} = \sqrt{1} = 1$

3. 最終的な答え

- E(X) = 2

- E(X^2) = 5

- V(X) = 1

- √(V(X)) = 1