確率変数 $X$ の期待値が $E[X] = \frac{5}{2}$、分散が $V[X] = \frac{5}{4}$ であるとき、確率変数 $-2X+3$ の期待値、分散、標準偏差を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の期待値が $E[X] = \frac{5}{2}$、分散が $V[X] = \frac{5}{4}$ であるとき、確率変数 $-2X+3$ の期待値、分散、標準偏差を求める。

2. 解き方の手順

期待値の線形性より、

$E[aX+b] = aE[X] + b$ が成り立つ。

したがって、

$E[-2X+3] = -2E[X] + 3 = -2 \times \frac{5}{2} + 3 = -5 + 3 = -2$

分散の性質より、

$V[aX+b] = a^2 V[X]$ が成り立つ。

したがって、

$V[-2X+3] = (-2)^2 V[X] = 4 \times \frac{5}{4} = 5$

標準偏差は分散の平方根なので、

$\sigma[-2X+3] = \sqrt{V[-2X+3]} = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

期待値: $-2$

分散: $5$

標準偏差: $\sqrt{5}$